選修41 幾何證明選講
第1課時圓的進一步認識
1. (2017·鎮江期末)如圖，已知ab是圓o的直徑，p是上半圓上的任意一點，pc是∠apb的平分線，點e是的中點．求證：直線pc經過點e.
證明：鏈結ae，eb，oe，
由題意知∠aoe＝∠boe＝90°，
因為∠ape是圓周角，∠aoe是同弧上的圓心角，
所以∠ape＝∠aoe＝45°.
同理可得，∠bpe＝∠boe＝45°，
所以pe是∠apb的平分線，
又pc是∠apb的平分線，
所以pc與pe重合，所以直線pc經過點e.
2. 如圖，圓o的兩弦ab，cd交於點f，從f點引bc的平行線和直線ad交於p，再從p引這個圓的切線，切點是q.求證：pf＝pq.
證明：因為a，b，c，d四點共圓，所以adf＝abc.
因為pf∥bc，所以afp＝abc.所以afp＝fdp.
又因為apf＝fpd，
所以△apf∽△fpd.
所以＝.所以pf2＝pa·pd.
因為pq與圓o相切，所以pq2＝pa·pd.
所以pf2＝pq2.所以pf＝pq.
3. 如圖，圓o與圓p相交於a，b兩點，點p在圓o上，圓o的弦bc切圓p於點b，cp及其延長線交圓p於d，e兩點，過點e作ef⊥ce交cb延長線於點f.若cd＝2，cb＝2，求ef的長．
解：鏈結pb，∵ bc切圓p於點b，
∴pb⊥bc.
又cd＝2，cb＝2，
由切割線定理得cb2＝cd·ce，
∴ ce＝4，de＝2，bp＝1.
∵ ef⊥ce，
∴ △cpb∽△cfe，∴＝，ef＝.
4. 如圖，ab，ac是圓o的切線，ade是圓o的割線，求證：be·cd＝bd·ce.
證明：∵ ab是圓o的切線，
∴ ∠abd＝∠aeb.
∵ ∠bad＝∠eab，
∴ △bad∽△eab.
∴＝.同理＝.
∵ ab，ac是圓o的切線，∴ ab＝ac.
∴＝，即be· cd＝bd· ce.
5. (2017·南通、泰州模擬)如圖，已知△abc內接於圓o，鏈結ao並延長交圓o於點d，∠acb＝∠adc.求證：ad·bc＝2ac·cd.
證明：證明：鏈結oc.
因為∠acb＝∠adc，∠abc＝∠adc，
所以∠acb＝∠abc.
因為oc＝od，所以∠ocd＝∠adc.
所以∠acb＝∠ocd.
所以△abc∽△odc.
所以＝，即ac·cd＝oc·bc.
因為oc＝ad，
所以ad·bc＝2ac·cd.
6. (2017·蘇北三市模擬)如圖，圓o的弦ab，mn交於點c，且點a為弧mn的中點，點d在弧bm上．若∠acn＝3∠adb，求∠adb的大小．
解：鏈結an，dn.
因為a為弧mn的中點，
所以∠anm＝∠adn.
而∠nab＝∠ndb，
所以∠anm＋∠nab＝∠adn＋∠ndb，
即∠bcn＝∠adb.
又∠acn＝3∠adb，
所以∠acn＋∠bcn＝3∠adb＋∠adb＝180°，
故∠adb＝45°.
7. 如圖，在△abc中，∠acb＝90°，以邊ac上的點o為圓心，oa為半徑作圓，與邊ab，ac分別交於點e，f，ec與圓o交於點d，鏈結ad並延長交bc於p.
(1) 求證：ae·ab＝ad·ap.
(2) 已知ae＝eb＝4，ad＝5，求ap的長．
(1)證明：鏈結ef，則∠aef＝90°.
∵ ∠acb＝90°，∴ b，c，f，e四點共圓．
則∠afe＝∠b.
∵ ∠ade＝∠afe，∴ ∠ade＝∠b.
∴ b，p，d，e四點共圓．
則ae·ab＝ad·ap.
(2)解：∵ ae＝eb＝4，ad＝5，∴ ab＝8.
由(1)ae·ab＝ad·ap，得ap＝.
8. (2017·蘇錫常鎮二模)如圖，直線de切圓o於點d，直線eo交圓o於a，b兩點，dc⊥ob於點c，且de＝2be，求證：2oc＝3bc.
證明：鏈結od，設圓的半徑為r，be＝x，
則od＝r，de＝2be＝2x，
在rt△ode中，∵ dc⊥ob，∴ od2＝ocoe，
∴ r2＝oc(r＋x) ①.
∵ 直線de切圓o於點d，∴ de2＝beae，
∴ 4x2＝x(2r＋x) ②，
∴ x＝.
代入①，解得oc＝，∴ bc＝ob－oc＝，
∴ 2oc＝3bc.
9. 如圖，已知ab為圓o的直徑，bc切圓o於點b，ac交圓o於點p，e為線段bc的中點．求證：op⊥pe.
證明：鏈結bp，∵ ab是圓o的直徑，
∴ ∠apb＝90°，∴∠bpc＝90°.
在rt△bpc中，∵ e是邊bc的中點，
∴ be＝ec，∴be＝ep，
∴ ∠1＝∠3.
∵ b，p為圓o上的點，
∴ ob＝op，∴∠2＝∠4.
∵ bc切圓o於點b，
∴ ∠abc＝90°，即∠1＋∠2＝90°，
從而∠3＋∠4＝90°，
∴ ∠ope＝90°.
∴ op⊥pe.
10. (2017·金陵中學質檢)如圖，已知ab為圓o的直徑，c，f為圓o上的兩點，oc⊥ab，過點f作圓o的切線fd交ab的延長線於點d，鏈結cf交ab於點e.求證：
de2＝da·db.
證明：鏈結of.
∵ df切圓o於f，∴ ∠ofd＝90°.
∴ ∠ofc＋∠cfd＝90°.
∵ oc＝of，∴ ∠ocf＝∠ofc.
∵ co⊥ab於o，
∴ ∠ocf＋∠ceo＝90°.
∴ ∠cfd＝∠ceo＝∠def，
∴ df＝de.
∵ df是圓o的切線，
∴ df2＝db·da.
∴ de2＝db·da.
11. (2017·南通、泰州期末)已知圓o的直徑ab＝4，c為ao的中點，弦de過點c且滿足ce＝2cd，求△oce的面積．
解：設cd＝x，則ce＝2x.
因為ca＝1，cb＝3，
由相交弦定理，得ca·cb＝cd·ce，
所以1×3＝x·2x＝2x2，所以x＝.
取de的中點h，鏈結oh，則oh⊥de.
因為oh2＝oe2－eh2＝4－＝，
所以oh＝.
因為ce＝2x＝，
所以△oce的面積s＝oh·ce＝××＝.
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