m1 合情推理與演繹推理
8．m1[2014·北京卷] 學生的語文、數學成績均被評定為三個等級，依次為「優秀」「合格」「不合格」．若學生甲的語文、數學成績都不低於學生乙，且其中至少有一門成績高於乙，則稱「學生甲比學生乙成績好」．如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，並且不存在語文成績相同、數學成績也相同的兩位學生，那麼這組學生最多有( )
a．2人 b．3人 c．4人 d．5人
8．b [解析] 假設a、b兩位學生的數學成績一樣，由題意知他們語文成績不一樣，這樣他們的語文成績總有人比另乙個人高，語文成績較高的學生比另乙個學生「成績好」，與已知條件「他們之中沒有乙個比另乙個成績好」相矛盾．因此，沒有任意兩位學生數學成績是相同的．因為數學成績只有3種，因而學生數量最大為3，即 3位學生的成績分別為(優秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，優秀)時滿足條件．
20．m1 e7[2014·北京卷] 對於數對序列p：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(an，bn)，記
t1(p)＝a1＋b1，tk(p)＝bk＋max(2≤k≤n)，
其中max表示tk－1(p)和a1＋a2＋…＋ak兩個數中最大的數．
(1)對於數對序列p：(2，5)，(4，1)，求t1(p)，t2(p)的值；
(2)記m為a，b，c，d四個數中最小的數，對於由兩個數對(a，b)，(c，d)組成的數對序列p：(a，b)，(c，d)和p′：(c，d)，(a，b)，試分別對m＝a和m＝d兩種情況比較t2(p)和t2(p′)的大小；
(3)在由五個數對(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)組成的所有數對序列中，寫出乙個數對序列p使t5(p)最小，並寫出t5(p)的值．(只需寫出結論)
20．解：(1)t1(p)＝2＋5＝7，
t2(p)＝1＋max＝1＋max＝8.
(2)t2(p)＝max，
t2(p′)＝max．
當m＝a時，t2(p′)＝max＝c＋d＋b.
因為a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以t2(p)≤t2(p′)．
當m＝d時，t2(p′)＝max＝c＋a＋b.
因為a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以t2(p)≤t2(p′)．
所以無論m＝a還是m＝d，t2(p)≤t2(p′)都成立．
(3)數對序列p：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的t5(p)值最小，
t1(p)＝10，t2(p)＝26，t3(p)＝42，t4(p)＝50，t5(p)＝52.
15．a1、m1[2014·福建卷] 若集合＝，且下列四個關係：
①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有乙個是正確的，則符合條件的有序陣列(a，b，c，d)的個數是________．
15．6 [解析] 若①正確，則②③④不正確，可得b≠1不正確，即b＝1，與a＝1矛盾，故①不正確；
若②正確，則①③④不正確，由④不正確，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得滿足條件的有序陣列為a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.
若③正確，則①②④不正確，由④不正確，得d＝4；由②不正確，得b＝1，則滿足條件的有序陣列為a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；
若④正確，則①②③不正確，由②不正確，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得滿足條件的有序陣列為a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；
綜上所述，滿足條件的有序陣列的個數為6.
19．m1、m3[2014·廣東卷] 設數列的前n項和為sn，滿足sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈n*，且s3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求數列的通項公式．
14．m1[2014·新課標全國卷ⅰ] 甲、乙、丙三位同學被問到是否去過a，b，c三個城市時，
甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過b城市；
乙說：我沒去過c城市；
丙說：我們三人去過同一城市．
由此可判斷乙去過的城市為________．
14．a [解析] 由於甲沒有去過b城市，乙沒有去過c城市，但三人去過同乙個城市，故三人去過的城市為a城市．又由於甲最多去過兩個城市，且去過的城市比乙多，故乙只能去過乙個城市，這個城市為a城市．
14．m1[2014·陝西卷] 觀察分析下表中的資料：
猜想一般凸多面體中f，v，e所滿足的等式是________．
14．f＋v－e＝2 [解析] 由題中所給的三組資料，可得5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面體的頂點數v、面數f及稜數e所滿足的等式是f＋v－e＝2.
m2 直接證明與間接證明
4．m2[2014·山東卷] 用反證法證明命題「設a，b為實數，則方程x2＋ax＋b＝0至少有乙個實根」時，要做的假設是( )
a. 方程x2＋ax＋b＝0沒有實根
b. 方程x2＋ax＋b＝0至多有乙個實根
c. 方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個實根
d. 方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個實根
4．a [解析] 「方程x2＋ax＋b＝0至少有乙個實根」等價於「方程x2＋ax＋b＝0有乙個實根或兩個實根」，所以該命題的否定是「方程x2＋ax＋b＝0沒有實根」．故選a.
m3 數學歸納法
21．b11、m3、d5[2014·安徽卷] 設實數c＞0，整數p＞1，n∈n*.
(1)證明：當x＞－1且x≠0時，(1＋x)p＞1＋px；
(2)數列滿足a1＞c，an＋1＝an＋a，證明：an＞an＋1＞c.
21．證明：(1)用數學歸納法證明如下．
①當p＝2時，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．
②假設p＝k(k≥2，k∈n*)時，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．
當p＝k＋1時，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.
所以當p＝k＋1時，原不等式也成立．
綜合①②可得，當x>－1，x≠0時，對一切整數p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．
(2)方法一：先用數學歸納法證明an>c.
①當n＝1時，由題設知a1>c成立．
②假設n＝k(k≥1，k∈n*)時，不等式ak>c成立．
由an＋1＝an＋a易知an>0，n∈n*.
當n＝k＋1時，＝＋a＝
1＋.由ak>c>0得－1<－<<0.
由(1)中的結論得＝>1＋p·＝.
因此a>c，即ak＋1>c，
所以當n＝k＋1時，不等式an>c也成立．
綜合①②可得，對一切正整數n，不等式an>c均成立．
再由＝1＋可得<1，
即an＋1綜上所述，an>an＋1>c，n∈n*.
方法二：設f(x)＝x＋x1－p，x≥c，則xp≥c，
所以f′(x)＝＋(1－p)x－p＝>0.
由此可得，f(x)在[c，＋∞)上單調遞增，因而，當x>c時，f(x)>f(c)＝c.
①當n＝1時，由a1>c>0，即a>c可知
a2＝a1＋a＝a1c，從而可得a1>a2>c，
故當n＝1時，不等式an>an＋1>c成立．
②假設n＝k(k≥1，k∈n*)時，不等式ak>ak＋1>c成立，則當n＝k＋1時，f(ak)>f(ak＋1)>f(c)，
即有ak＋1>ak＋2>c，
所以當n＝k＋1時，原不等式也成立．
綜合①②可得，對一切正整數n，不等式an>an＋1>c均成立．
19．m1、m3[2014·廣東卷] 設數列的前n項和為sn，滿足sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈n*，且s3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求數列的通項公式．
22．b12、m3[2014·全國卷] 函式f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．
(1)討論f(x)的單調性；
(2)設a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，證明： 22．解：(1)易知f(x)的定義域為(－1，＋∞)，f′(x)＝.
(i)當10，所以f(x)在(－1，a2－2a)是增函式；
若x∈(a2－2a，0)，則f′(x)<0，所以f(x)在(a2－2a，0)是減函式；
若x∈(0，＋∞)，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)是增函式．
(ii)當a＝2時，若f′(x)≥0，f′(x)＝0成立當且僅當x＝0，所以f(x)在(－1，＋∞)是增函式.
(iii)當a>2時，若x∈(－1，0)，則f′(x)>0，所以f(x)在(－1，0)是增函式；
若x∈(0，a2－2a)，則f′(x)<0，
所以f(x)在(0，a2－2a)是減函式；
若x∈(a2－2a，＋∞)，則f′(x)>0，所以f(x)在(a2－2a，＋∞)是增函式．
(2)由(1)知，當a＝2時，f(x)在(－1，＋∞)是增函式．
當x∈(0，＋∞)時，f(x)>f(0)＝0，即ln(x＋1)> (x>0)．
又由(1)知，當a＝3時，f(x)在[0，3)是減函式．
當x∈(0，3)時，f(x)下面用數學歸納法證明(i)當n＝1時，由已知(ii)假設當n＝k時結論成立，即當n＝k＋1時，
ak＋1＝ln(ak＋1)>ln>＝，
ak＋1＝ln(ak＋1)≤ln<＝，
即當n＝k＋1時，有 一 選擇題 本大題共12小題，每小題5分，共60分 1 用秦九韶演算法求n 次多項式，當時，求需要算乘方 乘法 加法的次數分別為 ab.n,2n,n c.0,2n,n d.0,n,n 2 2012天津理 閱讀右邊的程式框圖,執行相應的程式,當輸入的值為時,輸出的值為 a b c d 3 下列推理正確... 一 指導思想 2007年的高考剛剛結出，2008年的高三複習又開始了。高三備考複習採用三輪次複習策略，一輪複習原則上在春節前基本結束，以 導向正確 方法科學 全面紮實 問題中心 主題鮮明 訓練高效 為指導，立足基礎，著眼能力 立足 綱標 活用教材 突出重點，強化主幹。在重視使學生建立全面 紮實的基礎... 一 指導思想 2007年的高考剛剛結出，2008年的高三複習又開始了。高三備考複習採用三輪次複習策略，一輪複習原則上在春節前基本結束，以 導向正確 方法科學 全面紮實 問題中心 主題鮮明 訓練高效 為指導，立足基礎，著眼能力 立足 綱標 活用教材 突出重點，強化主幹。在重視使學生建立全面 紮實的基礎...2023年高考數學第一輪複習 演算法框圖及推理與證明 理
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