曹縣一中精品課堂學案
3.4.1 基本不等式的證明（1）
一、問題情景
1.提問：與哪個大
2.基本不等式的幾何背景：
如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象乙個風車，代表中國人民熱情好客．你能在這個圖案中找出一些相等關係或不等關係嗎？
二、學生活動
問題1 我們把「風車」造型抽象成上圖．在正方形中有4個全等的直角三角形．設直角三角形的長為，那麼正
方形的邊長為多少？面積為多少呢？
問題2 那4個直角三角形的面積和呢？
問題3 好，根據觀察4個直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到乙個不等式什麼時候這兩部分面積相等呢？
.三、建構數學
1．重要不等式：一般地，對於任意實數、，我們有，當且僅當時，等號成立．
問題4：你能給出它的證明嗎？(學生嘗試證明後口答,老師板書)
注意：（1）等號成立的條件，「當且僅當」指充要條件；
（2） 公式中的字母和既可以是具體的數字，也可以是比較複雜的變數式，因此應用範圍比較廣泛．
問題5：將降次為,降次為,則由這個不等式可以得出什麼結論？
2．基本不等式：對任意正數、，有當且僅當時等號成立．
說明： 把和分別叫做正數的算術平均數和幾何平均數，上述不等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數．
注意：（1）基本不等式成立的條件是：；
（2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3）；
（3）的幾何解釋：（如圖1）以為直徑作圓，在直徑上取一點， 過作弦，則，從而，而半徑
基本不等式幾何意義是：「半徑不小於半弦」；
（4）當且僅當時，取「」的含義：一方面是當時取等號，即
；另一方面是僅當時取等號，即；
（5）如果，那麼（當且僅當時取「」）；
（6）如果把看作是正數、的等差中項，看作是正數、的等比中項，那麼該定理可以敘述為：兩個正數的等差中項不小於它們的等比中項．
四、數**用
例1 設為正數，證明下列不等式成立：（1）；（2）.
拓展1、 已知為兩兩不相等的實數，求證：.
例2.已知 a,b,c 正數，且a+b+c=1 求證：
練習:已知 a,b,c 正數,求證：
例3、求下列函式的值域：
（1）、；
（2）練習1：求的值域；
練習2：求的值域。
5、課堂反饋
1. 給出下列結論,其中正確的有
（1）若則
（2）若則
（3）若，則
（4）若，則
2. 若b>a>0 , 則下列不等式一定成立的有
(1). a>b
(2). b>a
(3)(3). b>a
(4). b>a>
3.求證: (≤
4.已知都是正數，求證．
六、定時作業 [課外作業]
3 4 1基本不等式的證明教學設計
3.4.1 基本不等式的證明 南京師範大學附屬中學季人傑 教學目標 1 探索並了解基本不等式的證明 2 體會證明不等式的基本思想方法 3 能應用基本不等式解決簡單的不等式證明問題 教學重點 基本不等式的證明 教學難點 基本不等式的證明 教學過程 一 問題情境，匯入新課 口述 有乙個珠寶商人，很多人到...
基本不等式的證明
課題 基本不等式及其應用 一 教學目的 1 認知 使學生掌握基本不等式a2 b2 2ab a b r，當且僅當a b時取 號 和 a b r 當且僅當a b時取 號 並能應用它們證明一些不等式 2 情感 通過對定理及其推論的證明與應用，培養學生運用綜合法進行推理的能力 二 教學重難點 重點 兩個基本...
基本不等式與不等式證明
1.2基本不等式 主備人 遲克勤張瀅好李紅濤審核 朱玉國 學習目標 1.理解並掌握重要的基本不等式，不等式等號成立的條件 2.初步掌握不等式證明的方法 3 理解從兩個正數的基本不等式到三個正數基本不等式的推廣 複習 1 定理1 如果,那麼 2 定理2 基本不等式 如果,那麼 在定理2中的算術平均值的...