基本不等式（一）
【學習目標】（1）學會推導不等式，理解不等式的幾何意義。
2）知道算術平均數、幾何平均數的概念
3）會用不等式求一些簡單的最值問題
【課前預習】
如圖所示，這時我國古代數學家趙爽的弦圖。在北京召開的24屆國際數學家大會上作為會標。你知道這其中含有哪些數學因素嗎？
設小直角三角形的兩條直角邊為，
則正方形的邊長為正方形的面積為
四個直角三角形的面積和為
<思考：當中間的小正方形面積為0的時候，此時直角三角形是
概念: 一般的,對於任意的實數,我們有當且僅當時,等號成立.
特別的,如果,我們用分別代替,可得我們通常把上式寫成()
第乙個不等式我們是通過幾何的面積關係得到的,那麼第二個不等式我們能不能直接利用不等式的性質來推導呢?
證明過程: 要證
只需證同時平方)
要證只需證0右邊的項移到左側)
要證只需證
顯然成立.當且僅當時,等號成立.,
概念擴充套件: 回憶數列中的等差中項和等比中項的概念。若兩個數, 且,
是的叫做的算術平均數，
是叫做的叫做的幾何平均數，
由基本不等式可得：的等差中項的等比中項（），
特別的，當時，的等差中項等於的等比中項。
【預習自測】
習題一：若，則
若，則習題二：（1）用籬笆圍乙個面積為100的矩形菜園，問這個矩形的長和寬各是多少所用籬笆最短？
設菜園的長為，寬為，則籬笆的總長度表示為
由可得 ，
當等號成立時，所用籬笆最短，此時
（2）一段長為36m的籬笆圍成乙個矩形菜園，問這個矩形的長和寬各是多少面積最大？
設菜園的長為，寬為，則 ，籬笆的面積表示為
由可得 ，
當等號成立時，面積最大，此時
總結：兩個實數
若它們的積為定值，則它們的和有最值，當且僅當成立。
若它們的和為定值，則它們的和有最值，當且僅當成立。
練習：1 直角三角形的面積為50，兩條直角邊各為多少時，兩直角邊的和最小？最小值為多少？
設兩邊分別為。則
2 用20cm長的歷鐵絲折成乙個面積最大的矩形，應當怎樣折？
3 把36寫成兩個正數的積，當這兩個正數取什麼值時，它們的和最小？
4 把18寫成兩個正數的和，當這兩個正數取什麼值時，它們的積最大？
基本不等式（二）
一、 自主學習
1．已知x，y都是整數，
（1）若（和為定值），則當時，積xy取得
（2）若（積為定製），則當時，和取得
上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大。
2．設x,y滿足，且x,y都是正數，則的最大值是（ ）
a．40b．10c．4d．2
3．在下列函式中，最小值為2的是（ ）
a. b. c. d.
4. 若，則函式（ ）
a．有最大值-6． b.有最小值6 c有最大值-2 d.有最小值2
5．已知，則的最小值為
★利用均值不等式求最值時，應注意的問題
①各項均為正數，特別是出現對數式、三角數式等形式時，要認真考慮。
②求和的最小值需積為定值，求積的最大值需和為定值。
③確保等號成立。
以上三個條件缺一不可，可概括「一正、二定、三相等」。
二、 學習**
【題型一】利用不等式求函式的最值
已知，求函式的最大值。
變式已知0【題型二】含條件的最值求法
已知整數x,y滿足，求x+2y的最小值。
變式 ：已知，滿足，求的最小值.
【題型三】利用不等式解應用題
某工廠要建造乙個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？
知識拓展 1. 基本不等式的變形：
；；；；
2. 一般地，對於個正數，都有，（當且僅當時取等號）
3. 當且僅當時取等號）
鞏固練習
1．設x>0,y>0,x+y=1,則使恆成立的實數m的最小值是（ ）
abc.2d
2．設x,y滿足x+4y=40,且想，且x,y，則的最大值是（ ）
a．40 b。 10c。4d。 2
3．已知正項等差數列的前20項和為100，則的最大值為（ ）
a．100 b。75c。 50 d。 25
4．函式
a bc d 1
5． 設x>0,則y=3-3x- 的最大值是函式f(x)=3x+lgx+ (06． 求（x>-1）的最小值為
8．某單位建造一間背面靠牆的小房，地面面積為12，房屋正面每平方公尺的造價為1200元，房屋側面每平方公尺的造價為800元，屋頂的造價為5800元. 如果牆高為3，且不計房屋背面和地面的費用，問怎樣設計房屋能使總造價最低？最低總造價是多少？
基本不等式複習導學案
基本不等式 知識梳理 一 基本不等式 1 基本不等式成立的條件 a 0，b 0.2 等號成立的條件 當且僅當a b時取等號 二 幾個重要的不等式 a2 b2 2ab a，b r 2 a，b同號 ab 2 a，b r 2 a，b r 三 算術平均數與幾何平均數 設a 0，b 0，則a，b的算術平均數為...
基本不等式
教學重點 基本不等式成立的三個必要條件 一正二定三相等教學難點 積或 和 變換為定值的技巧 教學方法 師生探求，揭示規律 教學過程 基本不等式 當且僅當a b取等號 1 感受基本不等式成立的必要條件之一 正數例1.若 設計意圖 轉化為用基本不等式求解 2 感受基本不等式成立的必要條件之二 定值練習1...
學案 3 4基本不等式 2
必修5 3.4 基本不等式 學案 第 2 課時 知識要點 1 基本不等式及其成立的條件 2 利用基本不等式求最值 3 基本不等式在實際中的應用 學習要求 1 掌握基本不等式成立的條件 2 會應用基本不等式求最值 3 掌握基本不等式在實際中的應用 預習提綱 根據以下提綱，預習教材第 99 頁 第 10...