基本不等式
【知識梳理】一、基本不等式≤
1．基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
2．等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．
二、幾個重要的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈r)；＋≥2(a，b同號)．ab≤2(a，b∈r)； 2≤(a，b∈r)．
三、算術平均數與幾何平均數
設a>0，b>0，則a，b的算術平均數為，幾何平均數為，基本不等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數．
四、利用基本不等式求最值問題
已知x>0，y>0，則：
(1)如果積xy是定值p，那麼當且僅當x＝y時，x＋y有最小值是2.(簡記：積定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那麼當且僅當x＝y時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)
【基礎自測】1．函式y＝x＋(x＞0)的值域為________
解析： ∵x＞0，∴y＝x＋≥2，當且僅當x＝1時取等號．答案：[2，＋∞)
2．已知m>0，n>0，且mn＝81，則m＋n的最小值為_______
解析： ∵m>0，n>0，∴m＋n≥2＝18.當且僅當m＝n＝9時，等號成立．
3．已知0解析：選b 由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，當且僅當3x＝3－3x，即x＝時等號成立．
4．若x>1，則x＋的最小值為________．
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.當且僅當x－1＝，即x＝3時等號成立．答案：5
5．已知x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，則z＝＋的最小值為________．
解析：由已知條件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10.
則＋≥2＝2，故min＝2，當且僅當2y＝5x時取等號．又xy＝10，即x＝2，y＝5時等號成立． 答案：2
1.在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是「一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得」，若忽略了某個條件，就會出現錯誤．
2．對於公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它們的作用和使用條件及內在聯絡，兩個公式也體現了ab和a＋b的轉化關係．
3．運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a，b>0)逆用就是ab≤2(a，b>0)等．還要注意「添、拆項」技巧和公式等號成立的條件等．
【考點**】
考點一利用基本不等式求最值
【例1】 (1)已知x＜0，則f(x)＝2＋＋x的最大值為________．
(2)(2012·浙江高考)若正數x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是_______
[解] (1)∵x＜0，∴－x＞0，∴f(x)＝2＋＋x＝2－.
∵－＋(－x)≥2＝4，當且僅當－x＝，即x＝－2時等號成立．
∴f(x)＝2－≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值為－2.
(2)∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得＝1.
∴3x＋4y＝·(3x＋4y)·＝＝＋≥＋×2＝5(當且僅當x＝2y時取等號)，∴3x＋4y的最小值為5.
【一題多變】本例(2)條件不變，求xy的最小值．
解：∵x＞0，y＞0，則5xy＝x＋3y≥2，∴xy≥，當且僅當x＝3y時取等號．
【由題悟法用基本不等式求函式的最值，關鍵在於將函式變形為兩項和或積的形式，然後用基本不等式求出最值．在求條件最值時，一種方法是消元，轉化為函式最值；另一種方法是將要求最值的表示式變形，然後用基本不等式將要求最值的表示式放縮為乙個定值，但無論哪種方法在用基本不等式解題時都必須驗證等號成立的條件．
【以題試法】1．(1)當x＞0時，則f(x)＝的最大值為________．
(2)(2011·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，則3a＋9b的最小值為________．
(3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恆成立，則實數m的最大值是________．
解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，當且僅當x＝，即x＝1時取等號．
(2)由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，
即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3 (當且僅當3a＝32b，即a＝2b時取等號)．
又∵a＋2b≥2≥4(當且僅當a＝2b時取等號)，∴3a＋9b≥2×32＝18.
即當a＝2b時，3a＋9b有最小值18.
(3)由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2，得xy≥8，於是由m－2≤xy恆成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值為10.
考點二多元均值不等式問題
【例2】設x，y，z為正實數，滿足x－2y＋3z＝0，則的最小值是________．
解析：由已知條件可得y＝，
所以＝＝≥＝3，
當且僅當x＝y＝3z時，取得最小值3.
【以題試法】若且,求的最小值 .
考點三基本不等式的實際應用
【例3】 (2012·江蘇高考)如圖，建立平面直角座標系xoy，x軸在地平面上，y軸垂直於地平面，單位長度為1千公尺，某炮位於座標原點．已知炮彈發射後的軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲線上，其中k與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫座標．(1)求炮的最大射程；
(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千公尺，試問它的橫座標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．
[解] (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由實際意義和題設條件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，當且僅當k＝1時取等號．
所以炮的最大射程為10千公尺．
(2)因為a＞0，所以炮彈可擊中目標存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
關於k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
判別式δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 a≤6.
所以當a不超過6千公尺時，可擊中目標．
【由題悟法】 利用基本不等式求解實際應用題的方法
(1)問題的背景是人們關心的社會熱點問題，如「物價、銷售、稅收、原材料」等，題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用資訊，建立數學模型，轉化為數學問題求解．
(2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變數不在定義域內時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據變數的範圍用對應函式的單調性求解.
【以題試法】2．(2012·福州質檢)某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．
(1)據市場調查，若**每提高1元，銷售量將相應減少2 000件，要使銷售的總收入不低於原收入，該商品每件定價最多為多少元？
(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，並提高定價到x元．公司擬投入(x2－600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入x萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低於原收入與總投入之和？並求出此時每件商品的定價．
解：(1)設每件定價為t元，依題意，有t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
因此要使銷售的總收入不低於原收入，每件定價最多為40元．
(2)依題意，x＞25時，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，
等價於x＞25時，a≥＋x＋有解．
∵＋x≥2＝10(當且僅當x＝30時，等號成立)，∴a≥10.2.
因此當該商品明年的銷售量a至少應達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低於原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元．
【鞏固練習】
1．函式y＝(x>1)的最小值是_______
解析：∵x>1，∴x－1>0.
∴y＝＝＝
＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2.
當且僅當x－1＝，即x＝1＋時，取等號．
2．設a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恆成立，則實數k的最小值等於_______
解析：由＋＋≥0得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b時取等號)，所以－≤－4，因此要使k≥－恆成立，應有k≥－4，即實數k的最小值等於－4.
3.求函式的值域.
解：令，則
因，但解得不在區間，故等號不成立，考慮單調性.
因為在區間單調遞增，所以在其子區間為單調遞增函式，故.
所以，所求函式的值域為.
4、求函式的最小值.
解析：，當且僅當即時，「=」號成立，故此函式最小值是.
5.求函式的最大值
解：，∴
，當且僅當即時，「=」號成立，故此函式最大值是1
6.已知x，y為正實數，且x 2＋＝1，求x的最大值.
解：x·≤＝＝ 即x＝·x≤
7.已知a>b>0,求a+的最小值.
8．已知函式f(x)＝x＋(p為常數，且p＞0)若f(x)在(1，＋∞)上的最小值為4，則實數p的值為________．
解析：由題意得x－1＞0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，當且僅當x＝＋1時取等號，因為f(x)在(1，＋∞)上的最小值為4，所以2＋1＝4，解得p＝.
9．已知x＞0，a為大於2x的常數，
(1)求函式y＝x(a－2x)的最大值； (2)求y＝－x的最小值．
解：(1)∵x＞0，a＞2x， ∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)
≤×2＝，當且僅當x＝時取等號，故函式的最大值為.
(2)y＝＋－≥2－＝－.
當且僅當x＝時取等號．故y＝－x的最小值為－.
10．正數x，y滿足＋＝1. (1)求xy的最小值； (2)求x＋2y的最小值．
解：(1)由1＝＋≥2得xy≥36，當且僅當＝，即y＝9x＝18時取等號，故xy的最小值為36.
(2)由題意可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，當且僅當＝，即9x2＝2y2時取等號，故x＋2y的最小值為19＋6.
11．若x，y∈(0，＋∞)，x＋2y＋xy＝30.
(1)求xy的取值範圍；(2)求x＋y的取值範圍．
解：由x＋2y＋xy＝30，(2＋x)y＝30－x，
則2＋x≠0，y＝＞0,0＜x＜30.
(1)xy＝＝
＝－x－＋32＝－＋34≤18，當且僅當x＝6時取等號，
因此xy的取值範圍是(0,18]．
(2)x＋y＝x＋＝x＋－1＝x＋2＋－3≥8－3，當且僅當時等號成立，又x＋y＝x＋2＋－3＜30，因此x＋y的取值範圍是[8－3,30)．
基本不等式導學案
基本不等式 一 學習目標 1 學會推導不等式，理解不等式的幾何意義。2 知道算術平均數 幾何平均數的概念 3 會用不等式求一些簡單的最值問題 課前預習 如圖所示，這時我國古代數學家趙爽的弦圖。在北京召開的24屆國際數學家大會上作為會標。你知道這其中含有哪些數學因素嗎？設小直角三角形的兩條直角邊為，則...
基本不等式
教學重點 基本不等式成立的三個必要條件 一正二定三相等教學難點 積或 和 變換為定值的技巧 教學方法 師生探求，揭示規律 教學過程 基本不等式 當且僅當a b取等號 1 感受基本不等式成立的必要條件之一 正數例1.若 設計意圖 轉化為用基本不等式求解 2 感受基本不等式成立的必要條件之二 定值練習1...
基本不等式高考複習
第一輪高考總複習 考綱要求 1了解基本不等式的證明過程 2會用基本不等式解決簡單的最值問題 考情播報 1 以命題真假判斷為載體,考察基本不等式成立的條件以及等號成立的條件,有時與不等式的性質一起考察,一般以選擇題形式出現,難度不大 2 考察利用基本不等式求函式或代數式的最值,有時與不等式恆成立問題相...