12、 幾何證明選講
【考綱要求】
幾何證明選講
①了解平行線截割定理，會證明並應用直角三角形射影定理。
②會證明並應用圓周角定理、圓的切線判定定理與性質定理。
③會證明並應用相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理。
④了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關係了解平行投影；會證平面與圓柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）。
⑤了解下面的定理：
定理：在空間中，取直線為軸，直線與相交於點o，其夾角為，圍繞旋轉得到以o為定點，為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸相交為（∥，記＝0），則：＞，平面與圓錐的交線為橢圓；＝，平面與圓錐的交線為拋物線；＜，平面與圓錐的交線為雙曲線。
⑥會利用丹迪林（dandeoin）雙球證明上述定理第一種情形：＞，平面與圓錐的交線為橢圓。
⑦會證明以下結果：
在⑥中，乙個丹迪林球與圓錐面的交線為乙個圓，並與圓錐的底面平行。記這個圓所在的平面為。
如果平面與平面的交線為m，在⑤第一種情形橢圓上任取點a，該丹迪林球與平面的切點為f，則點a與點f的距離與點a到直線m的距離比是小於1的常數e(稱點f為這個橢圓的焦點，直線m為橢圓的準線，常數e為離心率)。
⑧了解定理⑤第三種情形的證明，了解當無限接近時，平面的極限結果。
（對於⑤——⑧新課程初期，高考暫不考查）
12.1 相似三角形的判定與有關性質
【學習目標】
了解平行線截割定理，會證明並應用直角三角形射影定理。
【知識網路】
相似形判斷與證明，相似的應用。
【知識學習】
1．平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.
推論：平行於三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例。
特例：平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其它直線上截得的線段也相等。
推論1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。
推論2：經過梯形一腰的中點與底邊平行的直線平分另一腰。
平行線分線段成比例定理推廣到空間有：
如圖,直線l1,l2被三個平行平面,,所截,直線l1與它們的交點分別為a,b,c,直線l2分別為d,e,f，則＝
2．三角形相似的判定與性質：
⑴三角對應相等、三邊對應成比例的兩個三角形相似，記作△abc∽△ a′b′c′。
⑵兩個相似三角形對應邊的比稱為這兩個相似三角形的相似比，當兩個相似三角形的相似比等於1時，
這兩個三角形全等。
⑶相似三角形的判定定理:
①兩角對應相等的兩個三角形相似。
②兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似。
③三邊對應成比例的兩個三角形相似。
推論： 如果一條直線與三角形的一條邊平行，且與三角形另兩條邊相交，則截得的三角形與原三角形相似。
⑷相似三角形的性質定理： 相似三角形的對應線段（如高、中線、角平分線）的比等於相似比，面積比等於相似比的平方。
3．直角三角形射影定理：直角三角形一條直角邊的平方等於該直角邊在斜邊上的射影與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等於兩條直角邊的在斜邊上射影的乘積。
【典型例題】
例1：如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab於點d，de⊥ac於e，df⊥bc於f，求證：＝。
例2：如圖，在正方形abcd中，m為ab上一點，n為bc上一點，且bm=bn，
bp⊥mc於點p，求證：（1）△bpn∽△cpd；（2）dp⊥np。
【課內練習】
1．在直角梯形abcd中，dc∥ab，cb，ab=ad=，cd=，點e、f分別為線段ab、ad的中點，則ef＝ 。
2．如圖，在四邊形abcd中，△abc≌△bad，求證：ab∥cd。
12.3 直線與圓的位置關係
【學習目標】
會證明並應用圓周角定理、圓的切線判定定理與性質定理。會證明並應用相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理。
【知識網路】
與圓相關的定理及其應用。
【知識學習】
1．圓周角定理：圓周角的度數等於其所對弧的度數的一半。
推論1：同弧（或等弧）上的圓周角相等。同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。
推論2：半圓（或直徑）上的圓周角等於90°。反之， 90°的圓周角所對的弦為直徑。
2．圓內接四邊形性質定理：圓內接四邊形的對角互補，且任何乙個外角都等於它的內對角。
圓內接四邊形判定定理：對角互補的四邊形內接於圓。乙個四邊形內接於圓也稱這個四邊形的頂點四點共圓。
定理：若兩點在一條線段同側且對該線段張角相等，則此兩點與線段兩個端點共圓。特別的，對定線段張角為直角的點共圓。
3．切線的判定與性質及切線長定理
切線的判定定理：過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線。
切線的性質定理：圓的切線垂直於經過切點的半徑。
切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等。
4．弦切角：
頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫圓的弦切角。
弦切角定理：弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角。
5．相交弦定理：圓的兩條相交弦，被交點分成兩段的積相等。
割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓的交點兩條線段的積相等。
切割線定理：從圓外一點引圓的一條割線與一條切線，切線長是這點到割線與圓的兩個交點的線段的等比中項。
【典型例題】
例1 如圖，d為△abc的邊bc上一點，⊙o1經過點b、d，交ab於另一點e，⊙o2 經過點c、d，交ac於另一點f，⊙o1與⊙o2 交於點g，求證：（1）∠bac+∠egf＝180°；（2）∠eag＝∠efg。
例2 如圖，⊙o和⊙o1外切於點p，一條外公切線切兩圓於點a、b，求證：∠apb＝90°。
例3 如圖：點d是⊙o的半徑oa上一點,經過點d作弦bc⊥ao,過c引⊙o的切線與oa的延長線交於點e.求證：ca平分∠bce。
例4 如圖，ab是⊙o的直徑，m為圓上一點，me⊥ab，垂足為e，點c為⊙o上任一點，ac、em交於點d，bc交de於點f。求證：。
例5 如圖，在△abc中，ab＝ac，∠c＝72°，⊙o過a、b兩點，且與bc相切於點b，與ac交於點d。若bc＝－1，求ac、dc的長。
例6 如圖，兩圓內切於點t，點p為外圓⊙o上任意一點，pm與內圓⊙o1切於點m，求證：pt：pm為定值。
【課內練習】
1．如圖，四邊形abcd是圓o的內接四邊形，延長ab和dc相交於點p，若,則的值為 。
2．ab，cd是半徑為a的圓o的弦，它們相交於ab的中點p，pd=，∠oap=30°，則cp＝ 。
3．如圖，點a、b、c是圓o上的點，且ab=4，，則圓o的面積等於 。
3．ab是圓o的直徑，d為圓o上一點，過d作圓o的切線交ab延長線於點c，若da=dc，求證：ab=2bc。
4．如圖，的角平分線ad的延長線交它的外接圓於點e
⑴證明：；
⑵若的面積，求的大小。
5. 已知abc 中，ab=ac, d是abc外接圓劣弧上的點（不與點a,c重合），延長bd至e。
⑴求證：ad的延長線平分cde；
⑵若bac=30°，abc中bc邊上的高為2+，求abc外接圓的面積。
6. 如圖，已知的兩條角平分線和相交於h，，f在上，且。
⑴證明：b,d,h,e四點共圓；⑵證明：平分。
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