【3年高考2年模擬】第十二章系列4第一節4-1幾何證明選講
第一部分三年高考薈萃
2023年高考數學幾何證明選講
一、填空題選擇題
1 ．（2023年高考（天津文））如圖,已知和是圓的兩條弦,過點作圓的切線與的延長線相交於.過點作的平行線與圓交於點,與相交於點,,,,則線段的長為
2 ．（2023年高考（陝西文））如圖,在圓o中,直徑ab與弦cd垂直,垂足為e,,垂足為f,若,,則
3 ．（2023年高考（廣東文））(幾何證明選講)如圖3所示,直線與圓相切於點,是弦上的點,.若,,則_______.
4 ．（2023年高考（江西理））在直角三角形abc中,點d是斜邊ab的中點,點p為線段cd的中點,則= （ ）
a．2 b．4 c．5 d．10
5 ．（2023年高考（北京理））如圖,∠acb=90°,cd⊥ab於點d,以bd為直徑的圓與bc交於點e,則
（ ）
a．ce·cb=ad·db b．ce·cb=ad·ab
c．ad·ab= d．ce·eb=
6．（2023年高考（陝西理））如圖,在圓o中,
直徑ab與弦cd垂直,垂足為e,,
垂足為f,若,,
則7．（2023年高考（湖南理））如圖2,過點p的直線與圓o相交於a,b兩點.若pa=1,ab=2,po=3,則圓o的半徑等於_______.
8．（2023年高考（湖北理））(選修4-1:幾何證明選講)如圖,點d在的弦ab上移動,,連線od,過點d 作的垂線交於點c,則cd的最大值為
9．（2023年高考（廣東理））(幾何證明選講)如圖3,圓的半徑為1,、、是圓周上的三點,滿足,過點作圓的切線與的延長線交於點,則
二、解答題
10．（2023年高考（遼寧文））選修41:幾何證明選講
如圖,⊙o和⊙相交於兩點,過a作兩圓的切線分別交兩圓於c,d兩點,連線db並延長交⊙o於點e.證明
(ⅰ);
(ⅱ) .
11．（2023年高考（課標文））選修4-1:幾何選講
如圖,d,e分別是△abc邊ab,ac的中點,直線de交△abc的外接圓與f,g兩點,若cf∥ab,證明:
(ⅰ) cd=bc;
(ⅱ)△bcd∽△gbd.
12．（2023年高考（新課標理））選修4-1:幾何證明選講
如圖,分別為邊的中點,直線交的外接圓於兩點,若,證明:
(1);
(2)13．（2023年高考（遼寧理））選修41:幾何證明選講
如圖,⊙o和⊙相交於兩點,過a作兩圓的切線分別交兩圓於c,d兩點,連線db並延長交⊙o於點e.證明[
(ⅰ);
(ⅱ) .
14．（2023年高考（江蘇））[選修4 - 1:幾何證明選講]如圖,是圓的直徑,為圓上位於異側的兩點,鏈結並延長至點,使,鏈結.
求證:.
參***
一、填空題
1. 【解析】如圖鏈結bc,be,則∠1=∠2,∠2=∠a
,又∠b=∠b,∽,,代入數值得bc=2,ac=4,又由平行線等分線段定理得,解得cd=.
2. 解析:,,,在中,
3. 解析:.,是公共角,所以∽,於是,所以,所以.
4. d【解析】本題主要考查兩點間的距離公式,以及座標法這一重要的解題方法和數形結合的數學思想.
不失一般性,取特殊的等腰直角三角形,不妨令,則,
,, ,所以.
【點評】對於非特殊的一般圖形求解長度問題,由於是選擇題,不妨嘗試將圖形特殊化,以方便求解各長度,達到快速求解的目的.體現考綱中要求掌握兩點間的距離公式.來年需要注意點到直線的距離公式.
5. 【答案】a
【解析】由切割線定理可知,在直角中,,則由射影定理可知,所以.
【考點定位】 本題考查的是平面幾何的知識,具體到本題就是射影定理的各種情況,需要學生對於垂直的變化有比較深刻的印象.
6.解析:,,,在中,
7. 【答案】
【解析】設交圓o於c,d,如圖,設圓的半徑為r,由割線定理知
【點評】本題考查切割線定理,考查數形結合思想,由切割線定理知,從而求得圓的半徑.
8.考點分析:本題考察直線與圓的位置關係
解析:(由於因此,線段長為定值,
即需求解線段長度的最小值,根據弦中點到圓心的距離最短,此
時為的中點,點與點重合,因此.
9.解析:.連線,則,,因為,所以.
二、解答題
10. 【答案與解析】
【命題意圖】本題主要考查圓的切線的性質、三角形相似的判斷與性質，考查推理論證能力和數形結合思想，重在考查對平面幾何基礎知識、基本方法的掌握，難度較小。
證明：（1）由與相切於，得，同理，
所以。從而，即4分
（2）由與相切於，得，又，得
從而，即，綜合（1）的結論10分
【點評】本題主要考查圓的切線的性質、三角形相似的判斷與性質,考查推理論證能力和數形結合思想,重在考查對平面幾何基礎知識、基本方法的掌握,難度較小.
11. 【命題意圖】本題主要考查線線平行判定、三角形相似的判定等基礎知識,是簡單題.
【解析】(ⅰ) ∵d,e分別為ab,ac的中點,∴de∥bc,
∵cf∥ab, ∴bcfd是平行四邊形,
∴cf=bd=ad, 鏈結af,∴adcf是平行四邊形,
∴cd=af,
∵cf∥ab, ∴bc=af, ∴cd=bc;
(ⅱ) ∵fg∥bc,∴gb=cf,
由(ⅰ)可知bd=cf,∴gb=bd,
∵∠dgb=∠efc=∠dbc, ∴△bcd∽△gbd.
12. 【解析】(1),
(2)13. 【答案與解析】
【命題意圖】本題主要考查圓的切線的性質、三角形相似的判斷與性質，考查推理論證能力和數形結合思想，重在考查對平面幾何基礎知識、基本方法的掌握，難度較小。
證明：（1）由與相切於，得，同理，
所以。從而，即4分
（2）由與相切於，得，又，得
從而，即，綜合（1）的結論10分
【點評】本題主要考查圓的切線的性質、三角形相似的判斷與性質,考查推理論證能力和數形結合思想,重在考查對平面幾何基礎知識、基本方法的掌握,難度較小.
14. 【答案】證明:連線.
∵是圓的直徑,∴(直徑所對的圓周角是直角).
垂直的定義).
又∵,∴是線段的中垂線(線段的中垂線定義).
∴(線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等).
∴(等腰三角形等邊對等角的性質).
又∵為圓上位於異側的兩點,
∴(同弧所對圓周角相等).
∴(等量代換).
【考點】圓周角定理,線段垂直平分線的判定和性質,等腰三角形的性質.
【解析】要證,就得找乙個中間量代換,一方面考慮到是同弧所對圓周角,相等;另
一方面由是圓的直徑和可知是線段的中垂線,從而根據線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對等角的性質得到.從而得證.
本題還可連線,利用三角形中位線來求證.
2023年高考試題
一、選擇題
1.（2011北京理5）如圖，ad，ae，bc分別與圓o切於點d，e，f，
延長af與圓o交於另一點g。給出下列三個結論：
①ad+ae=ab+bc+ca；
②af·ag=ad·ae
③△afb ～△adg
其中正確結論的序號是
ab．②③
cd．①②③
【答案】a
二、填空題
1.（天津理12）如圖，已知圓中兩條弦與相交於點，是延長線上一
點，且若與圓相切，則
線段的長為
【答案】
2.（上海理5）在極座標系中，直線與直線的夾角大小為
【答案】
3.（陝西理15）（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評10.分）
b．（幾何證明選做題）如圖，，且
，則答案
4.（湖南理11）如圖2，a,e是半圓周上的兩個三等分點，直徑bc=4，
ad⊥bc,垂足為d,be與ad相交與點f，則af的長為
【答案】
5.（廣東理15）（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點分別作圓的切線
和割線交圓於,，且=7，是圓上一點使得=5，
∠=∠, 則= 。
【答案】
6.（遼寧理22）
如圖，a，b，c，d四點在同一圓上，ad的延長線與bc的延長線交於e點，且ec=ed．
（i）證明：cd//ab；
（ii）延長cd到f，延長dc到g，使得ef=eg，證明：a，b，g，f四點共圓．
答案 7．（全國新課標理22）選修4-1：幾何證明選講
如圖，d，e分別為的邊ab，ac上的點，且不與的頂點重合．已知ae的長為m，ac的長為n，ad，ab的長是關於x的方程的兩個根．
（i）證明：c，b，d，e四點共圓；
（ii）若，且求c，b，d，e所在圓的半徑．
答案解：
（i）連線de，根據題意在△ade和△acb中，
ad×ab=mn=ae×ac
即.又∠dae=∠cab，從而△ade∽△acb
因此∠ade=∠acb
所以c，b，d，e四點共圓．
（ⅱ）m=4， n=6時，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2，x2=12.
故 ad=2，ab=12.
取ce的中點g，db的中點f，分別過g，f作ac，ab的垂線，兩垂線相交於h點，連線dh.因為c，b，d，e四點共圓，所以c，b，d，e四點所在圓的圓心為h，半徑為dh.
由於∠a=900，故gh∥ab， hf∥ac. hf=ag=5，df= (12-2)=5.
故c，b，d，e四點所在圓的半徑為5
2023年高考題
一、填空題
1.（2010北京理）如圖，的弦ed，cb的延長線交於點a。若bdae，ab＝4, bc＝2, ad＝3,則dece
【答案】5
2.（2010天津文）（11）如圖，四邊形abcd是圓o的內接四邊形，延長ab和dc相交於點p。若pb=1，pd=3，則的值為 。
【答案】
【解析】本題主要考查四點共圓的性質與相似三角形的性質，屬於容易題。
幾何證明選講
一 考試說明要求 二 應知應會知識和方法 1 如圖所示，圓o上的一點c在直徑ab上的射影為d，cd 4，bd 8，求圓o的直徑 解 10 說明本題所用的知識點為 圓周角定理 射影定理 2 等邊 內接於 且de bc，已知於點h，bc 4，ah 求 的邊長 解設等邊的邊長為x，則它的高為，因為de b...
幾何證明選講
測試40 幾何證明選講 一 選擇題 1 矩形abcd中，摺疊矩形一邊ad，使點d落在bc邊的點f處，已知摺痕ae cm，且ce cf 3 4，則矩形abcd的周長為 a 36cm b cm c 72cm d cm 2 o上有兩點a，b，aob是小於平角的角，將 aob繞著圓心o旋轉，當點b旋轉到a時...
幾何證明選講
考綱解讀 1.了解平行線截割定理，會證明並應用直角三角形射影定理.2.會證明並應用圓周角定理 圓的切線的判定定理及性質定理.3.會證明並應用相交弦定理 圓內接四邊形的性質定理與判定定理 切割線定理.4.了解平行射影的含義，通過圓柱與平面的位置關係了解平行射影 會證平面與圓柱面的截線是橢圓 特殊情形是...