第一節相似三角形的判定及有關性質
基礎盤查一平行線分線段成比例定理
(一)循綱憶知
了解平行線截割定理(平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理)．
(二)小題查驗
1．判斷正誤
(1)梯形的中位線平行於兩底，且等於兩底和( )
(2)若一條直線截三角形的兩邊(或其延長線)所得對應線段成比例，則此直線與三角形的第三邊平行( )
答案：(1)× (2)√
2.如圖，f為abcd的邊ad延長線上的一點，df＝ad，bf分別交dc，ac於g，e兩點，ef＝16，gf＝12，則be的長為________．
解析：由df＝ad，ab∥cd知bg＝gf＝12，又ef＝16知eg＝4，故be＝8.
答案：8
3.(人教a版教材習題改編)如圖，ab∥em∥dc，ae＝ed，ef∥bc，ef＝12 cm，則bc的長為________ cm.
解析：∵ e為ad中點，m為bc的中點，
又ef∥bcef＝mc＝12 cm.
∴bc＝2mc＝24 cm.
答案：24
基礎盤查二相似三角形的判定及性質
(一)循綱憶知
理解相似三角形的定義與性質，會證明並應用直角三角形射影定理．
(二)小題查驗
1．判斷正誤
(1)在△abc中，ad是bc邊上的高，若ad2＝bd·cd，則∠a為直角( )
(2)在直角三角形abc中，ac⊥bc，cd⊥ad，則bc2＝bd·ab( )
(3)若兩個三角形的相似比等於1，則這兩個三角形全等( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2.(人教a版教材習題改編)如圖，d，e分別是△abc的邊ab，ac上的點，de∥bc且＝2，那麼△ade與四邊形dbce的面積比是________．
解析：∵de∥bc，∴△ade∽△abc，
∴＝.∵＝2，∴＝，
∴＝，故＝.
答案：|(基礎送分型考點——自主練透)
[必備知識]
1．平行線等分線段定理
如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等．
推論1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊．
推論2：經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰．
2．平行線分線段成比例定理
三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．
推論：平行於三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例．
[提醒] 在使用平行線截割定理時易出現對應邊的對應順序混亂，導致錯誤．
[題組練透]
1.如圖，在△abc中，點d是ac的中點，點e是bd的中點，ae交bc於點f，求的值．
解：如圖，過點d作dm∥af交bc於點m.
∵點e是bd的中點，
∴在△bdm中，bf＝fm.
又點d是ac的中點，
∴在△caf中，cm＝mf，
∴＝＝.
2．如圖，等邊三角形def內接於△abc，且de∥bc，已知ah⊥bc於點h，bc＝4，ah＝，求△def的邊長．
解：設de＝x，ah交de於點m，顯然mh的長度與等邊三角形def的高相等，
又de∥bc，則＝＝，
∴＝＝，解得x＝.
3.如圖，在四邊形abcd中，ef∥bc，fg∥ad，求＋的值．
解：由平行線分線段成比例定理得
＝，＝，
故＋＝＋＝＝1.
[類題通法]
對於平行線分線段成比例定理，往往會以相似三角形為載體，通過三角形相似來構建相應線段比，從而解決問題．解題時要充分利用中點來作輔助線，建立三角形的中位線或梯形的中位線，從而有效利用平行線分線段成比例定理．
|(重點保分型考點——師生共研)
[必備知識]
1．相似三角形的判定定理
判定定理1：兩角對應相等的兩個三角形相似；
判定定理2：三邊對應成比例的兩個三角形相似；
判定定理3：兩邊對應成比例，並且夾角相等的兩個三角形相似．
2．相似三角形的性質定理
性質定理1：相似三角形對應邊上的高、中線和它們周長的比都等於相似比；
性質定理2：相似三角形的面積比等於相似比的平方．
結論：相似三角形外接圓的直徑比、周長比等於相似比，外接圓的面積比等於相似比的平方．
[提醒] 在解決相似三角形的判定或應用時易出現對應邊和對應角的對應失誤．
[典題例析]
如圖，已知在△abc中，d是bc邊的中點，且ad＝ac，de⊥bc，de與ab相交於點e，ec與ad相交於點f.
(1)求證：△abc∽△fcd；
(2)若s△fcd＝5，bc＝10，求de的長．
解：(1)因為de⊥bc，d是bc的中點，所以eb＝ec，所以∠b＝∠bce.又因為ad＝ac，所以∠adc＝∠acb.
所以△abc∽△fcd.
(2)如圖，過點a作am⊥bc，垂足為點m.
因為△abc∽△fcd，bc＝2cd，所以＝2＝4.
又因為s△fcd＝5，所以s△abc＝20.
因為s△abc＝bc·am，bc＝10，
所以20＝×10×am，
所以am＝4.
因為de∥am，所以＝.
因為dm＝dc＝，bm＝bd＋dm，
所以＝，解得de＝.
[類題通法]
證明兩個三角形相似的關鍵是根據判定定理找(證)兩個三角形的邊和角之間的數量關係．有的證明起來比較簡單方便，但有的找邊角關係比較困難，這就要求我們必須提高讀圖、識圖、新增必要輔助線的能力．對計算問題則要靈活使用有關定理，掌握相似三角形的性質定理．
[演練衝關]
(2015·浙江模擬)如圖，在梯形abcd中，ab∥cd，ab＝3，cd＝4.過ac與bd的交點o作ef∥ab，分別交ad，bc於點e，f，求ef的長．
解：因為ab∥cd，ef∥ab，所以△edo∽△adb，因此有＝，又ab＝3，cd＝4，不妨設do＝4m，ob＝3m，＝＝，因此可得eo＝，則ef＝.
|(重點保分型考點——師生共研)
[必備知識]
射影定理
直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上的射影與斜邊的比例中項．
[提醒] 射影定理是直角三角形中的乙個重要結論，其實質就是三角形的相似．但要注意滿足直角三角形射影定理結論的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的條件和結論之間的關係，不能亂用．
[典題例析]
如圖，在rt△abc中，∠bac＝90°，ad⊥bc於d，df⊥ac於f，de⊥ab於e，試證明：
(1)ab·ac＝bc·ad；
(2)ad3＝bc·cf·be.
證明：(1)在rt△abc中，ad⊥bc，
∴s△abc＝ab·ac＝bc·ad.
∴ab·ac＝bc·ad.
(2)rt△adb中，de⊥ab，由射影定理可得
bd2＝be·ab，
同理cd2＝cf·ac，
∴bd2·cd2＝be·ab·cf·ac.
又在rt△bac中，ad⊥bc，∴ad2＝bd·dc，
∴ad4＝be·ab·cf·ac，又ab·ac＝bc·ad.
即ad3＝bc·cf·be.
[類題通法]
1．在使用直角三角形射影定理時，要學會將「乘積式」轉化為相似三角形中的「比例式」．
2．證題時，要注意作垂線構造直角三角形是解直角三角形時常用的方法．
[演練衝關]
如圖，在rt△abc中 ，∠bac＝90°，ad是斜邊bc上的高，若ab∶ac＝2∶1，求ad∶bc.
解：設ac＝k，則ab＝2k，bc＝k，
∵∠bac＝90°，ad⊥bc，
∴ac2＝cd·bc，
∴k2＝cd·k，∴cd＝k，
又bd＝bc－cd＝k，
∴ad2＝cd·bd＝k·k＝k2，
∴ad＝k，
∴ad∶bc＝2∶5.
1．如圖，在四邊形abcd中，e是ab上一點，ec∥ad，de∥bc，若s△bec＝1，s△ade＝3，求s△cde.
解：∵ec∥ad，
∴s△dce∶s△ade＝ec∶ad.
∵de∥bc，∴s△bce∶s△cde＝bc∶ed，又因為∠ecb＝∠dec＝∠ade，∠bec＝∠ead，∴△bec∽△ead，
∴ec∶ad＝bc∶ed，∴s△dce∶s△ade＝s△bce∶s△cde，得s△cde＝.
2．在rt△acb中，∠c＝90°，cd⊥ab於d，若bd∶ad＝1∶9，求tan∠bcd的值．
解：由射影定理得
cd2＝ad·bd，
又bd∶ad＝1∶9，
令bd＝x，則ad＝9x(x>0)．
∴cd2＝9x2，cd＝3x.
rt△cdb中，tan∠bcd＝＝＝.
3．如圖，m是平行四邊形abcd的邊ab的中點，直線l過點m分別交ad，ac於點e，f，交cb的延長線於點n.若ae＝2，ad＝6，求的值．
解析：∵ad∥bc，∴△aef∽△cnf，
∴＝，∴＝.
∵m為ab的中點，∴＝＝1，∴ae＝bn，
∴＝＝＝.
∵ae＝2，bc＝ad＝6，∴＝＝.
4．已知△abc中，bf⊥ac於點f，ce⊥ab於點e，bf和ce相交於點p，求證：
(1)△bpe∽△cpf;
(2)△efp∽△bcp.
證明：(1)∵bf⊥ac於點f，ce⊥ab於點e，
∴∠bfc＝∠ceb.
又∵∠cpf＝∠bpe，
∴△bpe∽△cpf.
(2)由(1)得△bpe∽△cpf，
∴＝.又∵∠epf＝∠bpc，
∴△efp∽△bcp.
5.如圖所示，在△abc中，ad為bc邊上的中線，f為ab上任意一點，cf交ad於點e.
求證：ae·bf＝2de·af.
證明：過點d作ab的平行線dm交ac於點m，交fc於點n.
在△bcf中，d是bc的中點，dn∥bf，
∴dn＝bf.
∵dn∥af，∴△afe∽△dne，
∴＝.又dn＝bf，∴＝，
即ae·bf＝2de·af.
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