n 選修4系列
n1 選修4-1 幾何證明選講
22．n1[2012·遼寧卷]
如圖1－8，⊙o和⊙o′相交於a，b兩點，過a作兩圓的切線分別交兩圓於c，d兩點，鏈結db並延長交⊙o於點e，證明：
(1)ac·bd＝ad·ab；
(2)ac＝ae.
圖1－8
22．證明：(1)由ac與⊙o′相切於a，得
∠cab＝∠adb，
同理∠acb＝∠dab，
所以△acb∽△dab.從而＝，
即ac·bd＝ad·ab.
(2)由ad與⊙o相切於a，得
∠aed＝∠bad，
又∠ade＝∠bda，得
△ead∽△abd.從而
＝，即ae·bd＝ad·ab.
結合(1)的結論，得ac＝ae.
22．n1[2012·課標全國卷]如圖1－5，d，e分別為△abc邊ab，ac的中點，直線de交△abc的外接圓於f，g兩點．若cf∥ab，證明：
(1)cd＝bc；
(2)△bcd∽△gbd.
圖1－5
22．證明：(1)因為d，e分別為ab，ac的中點，
所以de∥bc.
又已知cf∥ab，故四邊形bcfd是平行四邊形，所以cf＝bd＝ad.而cf∥ad，鏈結af，所以四邊形adcf是平行四邊形，故cd＝af.
因為cf∥ab，所以bc＝af，故cd＝bc.
(2)因為fg∥bc，故gb＝cf.
由(1)可知bd＝cf，所以gb＝bd.
而∠dgb＝∠efc＝∠dbc，故△bcd∽△gbd.
12．n1[2012·全國卷] 正方形abcd的邊長為1，點e在邊ab上，點f在邊bc上，ae＝bf＝.動點p從e出發沿直線向f運動，每當碰到正方形的邊時**，**時反射角等於入射角，當點p第一次碰到e時，p與正方形的邊碰撞的次數為( )
a．8 b．6 c．4 d．3
12．b [解析] 本小題主要考查反射原理及三角形相似知識的應用，解題的突破口為確定反射後點p的位置．
結合點e、f的位置進行作圖推理，利用反射過程中平行直線及相似三角形作圖可得點p回到e點時與正方形的邊碰撞次數為6次，故選b.
15．n1[2012·廣東卷] (幾何證明選講選做題)如圖1－3所示，直線pb與圓o相切於點b，d是弦ac上的點，∠pba＝∠dba.若ad＝m，ac＝n，則ab
圖1－3
15. [解析] 本題考查弦切角定理以及三角形相似知識，解決本題的突破口是利用弦切角定理得到∠pba＝∠acb，再利用三角形相似求出．因為pb是圓的切線，所以∠pba＝∠acb.又因為∠pba＝∠dba，所以∠dba＝∠acb.
又因為∠a＝∠a，所以△abd∽△acb，所以＝，所以ab2＝ad×ac＝mn，所以ab＝.
21 a．n1 [2012·江蘇卷]如圖1－7，ab是圓o的直徑，d，e為圓o上位於ab異側的兩點，鏈結bd並延長至點c，使bd＝dc，鏈結ac，ae，de.
求證：∠e＝∠c.
圖1－7
21a.證明：如圖，鏈結od，因為bd＝dc，o為ab的中點，
所以od∥ac，於是∠odb＝∠c.
因為ob＝od，所以∠odb＝∠b.於是∠b＝∠c.
因為點a，e，b，d都在圓o上，且d，e為圓o上位於ab異側的兩點，所以∠e和∠b為同弧所對的圓周角，
故∠e＝∠b.所以∠e＝∠c.
15 b. n1[2012·陝西卷]如圖1－6，在圓o中，直徑ab與弦cd垂直，垂足為e，ef⊥db，垂足為f，若ab＝6，ae＝1，則df·db
圖1－6
15b：5 [解析] 本題考查了射影定理的知識，解題的突破口是找出直角三角形內的射影定理．連線ad，在rt△abd中，de⊥ab，所以de2＝ae×eb＝5，在rt△ebd中，ef⊥db，所以de2＝df×db＝5.
13．n1[2012·天津卷] 如圖1－3所示，已知ab和ac是圓的兩條弦，過點b作圓的切線與ac的延長線相交於點d.過點c作bd的平行線與圓相交於點e，與ab相交於點f，af＝3，fb＝1，ef＝，則線段cd的長為________．
圖1－3
13. [解析] 由相交弦的性質可得af×fb＝ef×fc，
∴fc＝＝＝2，
又∵fc∥bd，∴＝＝＝，即bd＝，
由切割線定理得bd2＝da×dc＝4dc2，解之得dc＝.
n2 選修4-2 矩陣
21 b．n2 [2012·江蘇卷]已知矩陣a的逆矩陣a－1＝，求矩陣a的特徵值．
21 b．解：因為a－1a＝e，所以a＝(a－1)－1.
因為a－1＝，所以a＝(a－1)－1＝，
於是矩陣a的特徵多項式為f(λ)＝＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，解得a的特徵值λ1＝－1，λ2＝4.
3．c3、n2[2012·上海卷] 函式f(x)＝的最小正週期是________．
3．π [解析] 考查二階矩陣和三角函式的值域，以矩陣為載體，實為考查三角函式的性質，易錯點是三角函式的化簡．
f(x)＝sinxcosx＋2＝sin2x＋2，由三角函式週期公式得，t＝＝π.
n3 選修4-4 引數與引數方程
23．n3[2012·遼寧卷]在直角座標系xoy中，圓c1：x2＋y2＝4，圓c2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以o為極點，x軸正半軸為極軸的極座標系中，分別寫出圓c1，c2的極座標方程，並求出圓c1，c2的交點座標(用極座標表示)；
(2)求圓c1與c2的公共弦的引數方程．
23．解：(1)圓c1的極座標方程為ρ＝2，
圓c2的極座標方程為ρ＝4cosθ.
解得ρ＝2，θ＝±，
故圓c1與圓c2交點的座標為，.
注：極座標系下點的表示不唯一．
(2)(解法一)
由得圓c1與c2交點的直角座標分別為(1，)，(1，－)．
故圓c1與c2的公共弦的引數方程為－≤t≤.
(或引數方程寫成 －≤y≤)
(解法二)
在直角座標系下求得弦c1c2的方程為
x＝1(－≤y≤)．
將x＝1代入得ρcosθ＝1，
從而ρ＝.
於是圓c1與c2的公共弦的引數方程為
－≤θ≤.
23．n3[2012·課標全國卷]已知曲線c1的引數方程是(φ為引數)，以座標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立座標系，曲線c2的極座標方程是ρ＝2，正方形abcd的頂點都在c2上，且a，b，c，d依逆時針次序排列，點a的極座標為.
(1)求點a，b，c，d的直角座標；
(2)設p為c1上任意一點，求|pa|2＋|pb|2＋|pc|2＋|pd|2的取值範圍．
23．解：(1)由已知可得
a，b，
c，d，
即a(1，)，b(－，1)，c(－1，－)，d(，－1)．
(2)設p(2cosφ，3sinφ)，令s＝|pa|2＋|pb|2＋|pc|2＋|pd|2，則
s＝16cos2φ＋36sin2φ＋16
＝32＋20sin2φ.
因為0≤sin2φ≤1，所以s的取值範圍是[32,52]．
21 c．n3[2012·江蘇卷]在極座標系中，已知圓c經過點p，圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點，求圓c的極座標方程．
21c．解：在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，
所以圓c的圓心座標為(1,0)．
因為圓c經過點p，
所以圓c的半徑pc＝＝1，
於是圓c過極點，所以圓c的極座標方程為ρ＝2cosθ.
10．n3[2012·湖南卷] 在極座標系中，曲線c1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1與曲線c2：ρ＝a(a＞0)的乙個交點在極軸上，則a
10. [解析] 本題考查直線與圓的極座標方程，具體的解題思路和過程：把直線與圓的極座標方程轉化為普通方程，求出直線與座標軸的交點代入圓方程求解．
直線方程為x＋y－1＝0，與x軸的交點為，圓的方程為x2＋y2＝a2，把交點代入得2＋02＝a2，又a>0，所以a＝.
[易錯點] 本題易錯一：不會轉化，無法把極座標方程轉化為普通方程；易錯二：直線與圓的交點實為直線與x軸的交點，如果不會轉化，導致計算加大，多走彎路．
14．n3[2012·廣東卷] (座標系與引數方程選做題)在平面直角座標系xoy中，曲線c1和c2的引數方程分別為和(t為引數)，則曲線c1與c2的交點座標為________．
14．(2,1) [解析] 利用方程思想解決，c1化為一般方程為：x2＋y2＝5，c2化為直角座標方程為：y＝x－1，聯立方程組得：
即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.又由c1中θ的取值範圍可知，交點在第一象限，所以交點為(2,1)．
15 c. n3 [2012·陝西卷]直線2ρcosθ＝1與圓ρ＝2cosθ相交的弦長為________．
15c： [解析] 本題考查了極座標的相關知識，解題的突破口為把極座標化為直角座標．由2ρcosθ＝1得2x＝1①，由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x②，聯立①②得y＝±，所以弦長為.
n4 選修4-5 不等式選講
15 a．n4 [2012·陝西卷]若存在實數x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，則實數a的取值範圍是________．
15．a：－2≤a≤4 [解析] 本題考查了不等式解法的相關知識，解題的突破口是理解不等式的幾何意義.＋≤3表示的幾何意義是在數軸上一點x到1的距離與到a的距離之和小於或等於3個單位長度，此時我們可以以1為原點找離此點小於或等於3個單位長度的點即為a的取值範圍，不難發現－2≤a≤4.
24．n4[2012·遼寧卷]已知f(x)＝|ax＋1|(a∈r)，不等式f(x)≤3的解集為．
(1)求a的值；
(2)若≤k恆成立，求k的取值範圍．
24．解：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集為，所以當a≤0時，不合題意．
當a>0時，－≤x≤，得
a＝2.
(2)記h(x)＝f(x)－2f，則h(x)＝
所以|h(x)|≤1，因此k≥1.
21 d．n4 [2012·江蘇卷]已知實數x，y滿足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求證：|y|＜.
21d．證明：因為3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由題設知|x＋y|<，|2x－y|<，從而3|y|<＋＝，
所以|y|<.
24．n4[2012·課標全國卷]已知函式f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)當a＝－3時，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值範圍．
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