第1講平行截割定理與相似三角形
考查相似三角形的判定和性質定理的應用及直角三角形的射影定理的應用．
【複習指導】
複習本講時，只要掌握好教材上的內容，熟練教材上的習題即可達到高考的要求，該部分的複習以基礎知識、基本方法為主，掌握好解決問題的基本技能即可.
基礎梳理
1．平行截割定理
(1)平行線等分線段定理及其推論
①定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等．
②推論：經過梯形一腰的中點而且平行於底邊的直線平分另一腰．
(2)平行截割定理及其推論
①定理：兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應線段成比例．
②推論：平行於三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，截得的三角形與原三角形的對應邊成比例．
(3)三角形角平分線的性質
三角形的內角平分線分對邊成兩段的長度比等於夾角兩邊長度的比．
(4)梯形的中位線定理
梯形的中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半．
2．相似三角形
(1)相似三角形的判定
①判定定理
a．兩角對應相等的兩個三角形相似．
b．兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．
c．三邊對應成比例的兩個三角形相似．
②推論：平行於三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似．
③直角三角形相似的特殊判定
斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似．
(2)相似三角形的性質
相似三角形的對應線段的比等於相似比，面積比等於相似比的平方．
(3)直角三角形射影定理
直角三角形一條直角邊的平方等於該直角邊在斜邊上射影與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等於兩條直角邊在斜邊上射影的乘積．
雙基自測
1．如圖所示，已知a∥b∥c，直線m、n分別與a、b、c交於點a，b，c和a′，b′，c′，如果ab＝bc＝1，a′b′＝，則b′c
解析由平行線等分線段定理可直接得到答案．
答案 2．如圖所示，bd、ce是△abc的高，bd、ce交於f，寫出圖中所有與△ace相似的三角形________．
解析由rt△ace與rt△fcd和rt△abd各共乙個銳角，因而它們均相似，又易知∠bfe＝∠a，故rt△ace∽rt△fbe.
答案 △fcd、△fbe、△abd
3．(2011·西安模擬)如圖，在△abc中，m、n分別是ab、bc的中點，an、cm交於點o，那麼△mon與△aoc面積的比是________．
解析 ∵m、n分別是ab、bc中點，故mn繡ac，
∴△mon∽△coa，∴＝＝.
答案 1∶4
4．如圖所示，已知de∥bc，bf∶ef＝3∶2，則ac∶ae＝______，ad∶db
解析 ∵de∥bc，∴＝＝.
∵bf∶ef＝3∶2，∴＝＝.∴ac∶ae＝3∶2.
同理de∥bc，得ab∶ad＝3∶2，即＝.
∴＝，即＝＝2.
即＝2.∴ad∶bd＝2∶1.
答案 3∶2 2∶1
5．(2010·廣東)如圖，在直角梯形abcd中，dc∥ab，cb⊥ab，ab＝ad＝a，cd＝，點e、f分別為線段ab、ad的中點，則ef
解析連線de和bd，依題知，eb∥dc，eb＝dc＝，∴ebcd為平行四邊形，∵cb⊥ab，∴de⊥ab，又e是ab的中點，故ad＝db＝a，∵e，f分別是ad、ab的中點，∴ef＝db＝a.
答案 考向一平行截割定理的應用
【例1】(2011·廣州測試(二))在梯形abcd中，ad∥bc，ad＝2，bc＝5，點e、f分別在ab、cd上，且ef∥ad，若＝，則ef的長為________．
[審題視點] 把梯形的兩腰ba、cd分別延長交於一點，利用平行截割定理可求解．
解析如圖所示，延長ba、cd交於點p，∵ad∥bc，∴＝＝，
∴＝，又ad∥ef，∴＝＝，又ad＝2，∴ef＝.
答案 在解題時要注意新增輔助線．
【訓練1】 如圖，在△abc中，de∥bc，ef∥cd，若bc＝3，de＝2，df＝1，則ab的長為________．
解析由＝＝＝，又df＝1，故可解得af＝2，∴ad＝3，
又＝，∴ab＝.
答案 考向二相似三角形的判定和性質的應用
【例2】已知，如圖，在△abc中，ab＝ac，bd⊥ac，點d是垂足．
求證：bc2＝2cd·ac.
[審題視點] 作ae⊥bc，證明△aec和△bdc相似即可．
證明過點a作ae⊥bc，垂足為e，
∴ce＝be＝bc，由bd⊥ac，ae⊥bc.
又∴∠c＝∠c，∴△aec∽△bdc.
∴＝，∴＝，
即bc2＝2cd·ac.
判定兩個三角形相似要注意結合圖形的性質特點靈活選擇判定定理．在乙個題目中，相似三角形的判定定理和性質定理可能多次用到．
【訓練2】 (2011·惠州調研)如圖，在△abc中，de∥bc，df∥ac，ae∶ac＝3∶5，de＝6，則bf
解析因為de∥bc，所以△ade∽△abc，所以＝，即＝，所以bc＝10.又df∥ac，所以四邊形decf是平行四邊形，故bf＝bc－fc＝bc－de＝10－6＝4.
答案 4
考向三直角三角形射影定理的應用
【例3】已知圓的直徑ab＝13，c為圓上一點，過c作cd⊥ab於d(ad＞bd)，若cd＝6，則ad
[審題視點] △acb為直角三角形，可直接利用射影定理求解．
解析如圖，連線ac，cb，∵ab是⊙o的直徑，∴∠acb＝90°
設ad＝x，∵cd⊥ab於d，
∴由射影定理得cd2＝ad·db，
即62＝x(13－x)，
∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.
∵ad＞bd，∴ad＝9.
答案 9
注意射影定理的應用條件．
【訓練3】 在△abc中，∠acb＝90°，cd⊥ab於d，ad∶bd＝2∶3.則△acd與△cbd的相似比為________．
解析如圖所示，在rt△acb中，
cd⊥ab，由射影定理得：
cd2＝ad·bd，
又∵ad∶bd＝2∶3，令ad＝2x，
bd＝3x(x＞0)，
∴cd2＝6x2，∴cd＝x.
又∵∠adc＝∠bdc＝90°，∴△acd∽△cbd.
易知△acd與△cbd的相似比為＝＝.
即相似比為∶3.
答案 ∶3
高考中幾何證明選講問題(一)
從近兩年新課標高考試題可以看出，高考主要以填空題的形式考查平行截割定理和相似三角形判定定理的應用，難度不大．
【示例1】 (2011·陝西)如圖，∠b＝∠d，ae⊥bc，∠acd＝90°，且ab＝6，ac＝4，ad＝12，則ae
【示例2】 (2011·廣東)如圖，在梯形abcd中，ab∥cd，ab＝4，cd＝2，e，f分別為ad，bc上的點，且ef＝3，ef∥ab，則梯形abfe與梯形efcd的面積比為________．
選修4 1幾何證明選講第1講平行截割定理與相似三角形
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