第2講圓周角定理與圓的切線
【高考會這樣考】
考查圓的切線定理和性質定理的應用．
【複習指導】
本講複習時，牢牢抓住圓的切線定理和性質定理，以及圓周角定理和弦切角等有關知識，重點掌握解決問題的基本方法.
基礎梳理
1．圓周角定理
(1)圓周角：頂點在圓周上且兩邊都與圓相交的角．
(2)圓周角定理：圓周角的度數等於它所對弧度數的一半．
(3)圓周角定理的推論
①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．
②半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑．
2．圓的切線
(1)直線與圓的位置關係
(2)切線的性質及判定
①切線的性質定理：圓的切線垂直於經過切點的半徑．
②切線的判定定理
過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．
(3)切線長定理
從圓外一點引圓的兩條切線長相等．
3．弦切角
(1)弦切角：頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓相交的角．
(2)弦切角定理及推論
①定理：弦切角的度數等於所夾弧的度數的一半．
②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．
雙基自測
1．如圖所示，△abc中，∠c＝90°，ab＝10，ac＝6，以ac為直徑的圓與斜邊交於點p，則bp長為________．
解析連線cp.由推論2知∠cpa＝90°，即cp⊥ab，由射影定理知，ac2＝
ap·ab.∴ap＝3.6，∴bp＝ab－ap＝6.4.
答案 6.4
2．如圖所示，ab、ac是⊙o的兩條切線，切點分別為b、c，d是優弧上的點，已知∠bac＝80°， 那麼∠bdc
解析連線ob、oc，則ob⊥ab，oc⊥ac，∴∠boc＝180°－∠bac＝100°，
∴∠bdc＝∠boc＝50°.
答案 50°
3．(2011·廣州測試(一))如圖所示，cd是圓o的切線，切點為c，點a、b在圓o上，bc＝1，∠bcd＝30°，則圓o的面積為________．
解析連線oc，ob，依題意得，∠cob＝2∠cab＝2∠bcd＝60°，又ob＝oc，
因此△boc是等邊三角形，
ob＝oc＝bc＝1，即圓o的半徑為1，
所以圓o的面積為π×12＝π.
答案 π
4．(2011·深圳二次調研)如圖，直角三角形abc中，∠b＝90°，ab＝4，以bc為直徑的圓交ac邊於點d，ad＝2，則∠c的大小為________．
解析連線bd，則有∠adb＝90°.在rt△abd中，ab＝4，ad＝2，所以∠a＝60°；在rt△abc中，∠a＝60°，於是有∠c＝30°.
答案 30°
5．(2011·汕頭調研)如圖，mn是圓o的直徑，mn的延長線與圓o上過點p的切線pa相交於點a，若∠m＝30°，ap＝2，則圓o的直徑為________．
解析連線op，因為∠m＝30°，所以∠aop＝60°，因為pa切圓o於p，所以op⊥ap，在rt△ado中，op＝＝＝2，故圓o的直徑為4.
答案 4
考向一圓周角的計算與證明
【例1】(2011·中山模擬)如圖，ab為⊙o的直徑，弦ac、bd交於點p，若ab＝3，cd＝1，則sin∠apb
[審題視點] 鏈結ad，bc，結合正弦定理求解．
解析連線ad，bc.因為ab是圓o
的直徑，所以∠adb＝∠acb＝90°.
又∠acd＝∠abd，所以在△acd中，由正弦定理得：＝＝＝＝ab＝3，又cd＝1，所以sin∠dac＝sin∠dap＝，所以cos∠dap＝.
又sin∠apb＝sin (90°＋∠dap)＝cos∠dap＝.
答案 解決本題的關鍵是尋找∠apb與∠dap的關係以及ad與ab的關係．
【訓練1】 如圖，點a，b，c是圓o上的點，且ab＝4，∠acb＝30°，則圓o的面積等於________．
解析連線ao，ob.因為∠acb＝30°，所以∠aob＝60°，△aob為等邊三角形，故圓o的半徑r＝oa＝ab＝4，圓o的面積s＝πr2＝16π.
答案 16π
考向二弦切角定理及推論的應用
【例2】如圖，梯形abcd內接於⊙o，ad∥bc，過b引⊙o的切線分別交da、ca的延長線於e、f.已知bc＝8，cd＝5，af＝6，則ef的長為________．
[審題視點] 先證明△eab∽△abc，再由ae∥bc及＝等條件轉化為線
段之間的比例關係，從而求解．
解析 ∵be切⊙o於b，∴∠abe＝∠acb.
又ad∥bc，∴∠eab＝∠abc，
∴△eab∽△abc，∴＝.
又ae∥bc，∴＝，∴＝.
又ad∥bc，∴＝，
∴ab＝cd，∴＝，∴＝，
∴ef＝＝.
答案 (1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用於推出角的關係，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小．
(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關於圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．
【訓練2】 (2010·新課標全國)如圖，已知圓上的弧＝，過c點的圓的切線與ba的延長線交於e點，證明：
(1)∠ace＝∠bcd；
(2)bc2＝be×cd.
證明 (1)因為＝，
所以∠bcd＝∠abc.
又因為ec與圓相切於點c，故∠ace＝∠abc，
所以∠ace＝∠bcd.
(2)因為∠ecb＝∠cdb，∠ebc＝∠bcd，
所以△bdc∽△ecb，故＝，
即bc2＝be×cd.
高考中幾何證明選講問題(二)
從近兩年的新課標高考試題可以看出，圓的切線的有關知識是重點考查物件，並且多以填空題的形式出現．
【示例】 (2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦ab與cd相交於點f，e是ab延長線上一點，且df＝cf＝，af∶fb∶be＝4∶2∶1.若ce與圓相切，則線段ce的長為________．
選修4 1幾何證明選講
第一節相似三角形的判定及有關性質 基礎盤查一平行線分線段成比例定理 一 循綱憶知 了解平行線截割定理 平行線等分線段定理 平行線分線段成比例定理 二 小題查驗 1 判斷正誤 1 梯形的中位線平行於兩底，且等於兩底和 2 若一條直線截三角形的兩邊 或其延長線 所得對應線段成比例，則此直線與三角形的第三...
第20部分 選修4 1幾何證明選講
一 填空題 1 2010年高考天津卷理科14 如圖，四邊形abcd是圓o的內接四邊形，延長ab和dc相交於點p。若，則的值為 答案 解析 因為abcd四點共圓，所以 pcb，cda pbc，因為 p為公共角，所以 所以 設pc x，pb y，則有，即，所以 命題意圖 本題考查四點共圓與相似三角形的性...
第20部分 選修4 1幾何證明選講
一 填空題 1 2010年高考天津卷文科11 如圖，四邊形abcd是圓o的內接四邊形，延長ab和dc相交於點p。若pb 1，pd 3，則的值為 答案 解析 因為abcd四點共圓，所以 pcb，cda pbc，因為 p為公共角，所以 所以 所以 命題意圖 本題考查四點共圓與相似三角形的性質。2 201...