選修4系列
第一節相似三角形的判定及有關性質
1．平行線的截割定理
(1)平行線等分線段定理
定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等．
推論1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊．
推論2：經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰．
(2)平行線分線段成比例定理
定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．
推論：平行於三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例．
2．相似三角形的判定定理
(1)判定定理1：兩角對應相等，兩三角形相似．
(2)判定定理2：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．
(3)判定定理3：三邊對應成比例，兩三角形相似．
3．相似三角形的性質定理
(1)性質定理：相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等於相似比；相似三角形周長的比等於相似比；相似三角形面積的比等於相似比的平方．
(2)推論：相似三角形外接圓的直徑比、周長比等於相似比，外接圓的面積比等於相似比的平方．
4．直角三角形相似的判定定理
(1)判定定理1：如果兩個直角三角形有乙個銳角對應相等，那麼它們相似．
(2)判定定理2：如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例，那麼它們相似．
(3)判定定理3：如果乙個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另乙個三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似．
5．直角三角形射影定理
直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項．
[小題體驗]
1.(教材習題改編)如圖，ab∥em∥dc，ae＝ed，ef∥bc，ef＝12 cm，則bc的長為________ cm.
解析：由e為ad中點，m為bc的中點，
又ef∥bcef＝mc＝12 cm.
∴bc＝2mc＝24 cm.
答案：24
2.(教材習題改編)如圖，d，e分別是△abc的邊ab，ac上的點，de∥bc且＝2，那麼△ade與四邊形dbce的面積比是________．
解析：∵de∥bc，∴△ade∽△abc，
∴＝.∵＝2，∴＝，
∴＝，故＝.
答案：1．在使用平行線截割定理時易出現對應邊的對應順序混亂，導致錯誤．
2．在解決相似三角形的判定或應用時易出現對應邊和對應角的對應失誤．
3．射影定理是直角三角形中的乙個重要結論，其實質就是三角形的相似．但要注意滿足直角三角形射影定理結論的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的條件和結論之間的關係，不能亂用．
[小題糾偏]
1.(2016·鞍山模擬)如圖，在abcd中，e是bc上一點，be∶ec＝2∶3，ae交bd於點f，則bf∶fd的值為________．
解析：因為ad＝bc，be∶ec＝2∶3，
所以be∶ad＝2∶5，因為ad∥bc，
所以bf∶fd＝be∶ad＝2∶5，
所以bf∶fd的值為.
答案：2.如圖，在rt△abc中 ，∠bac＝90°，ad是斜邊bc上的高，若ab∶ac＝2∶1，則ad∶bc為________．
解析：設ac＝k，則ab＝2k，bc＝k，
∵∠bac＝90°，ad⊥bc，
∴ac2＝cd·bc，
∴k2＝cd·k，∴cd＝k，
又bd＝bc－cd＝k，
∴ad2＝cd·bd＝k·k＝k2，
∴ad＝k，∴ad∶bc＝2∶5.
答案：2∶5
……………
[題組練透]
1．如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，bd與ac相交於點o，過點o的直線分別交ab，cd於e，f，且ef∥bc，若ad＝12，bc＝20，求ef的值．
解：∵ad∥bc，
∴＝＝＝，
∴＝.∵oe∥ad，∴＝＝.
∴oe＝ad＝×12＝，
同理可求得of＝bc＝×20＝，
∴ef＝oe＋of＝15.
2．如圖，在△abc中，點d是ac的中點，點e是bd的中點，ae交bc於點f，求的值．
解：如圖，過點d作dm∥af交bc於點m.
∵點e是bd的中點，
∴在△bdm中，bf＝fm.
又點d是ac的中點，
∴在△caf中，cm＝mf，
∴＝＝.
[謹記通法]
平行線分線段成比例定理及推論的應用的乙個注意點及一種轉化
(1)乙個注意點：利用平行線分線段成比例定理來計算或證明，首先要觀察平行線組，再確定所截直線，進而確定比例線段及比例式，同時注意合比性質、等比性質的運用．
(2)一種轉化：解決此類問題往往需要作輔助的平行線，要結合條件構造平行線組，再應用平行線分線段成比例定理及其推論轉化比例式解題．
(重點保分型考點——師生共研)
[典例引領]
如圖，在△abc中，ab＝ac，∠bac＝90°，d，e，f分別在ab，ac，bc上，ae＝ac，bd＝ab，且cf＝bc.
求證：(1)ef⊥bc；
(2)∠ade＝∠ebc.
證明：設ab＝ac＝3a，
則ae＝bd＝a，cf＝a.
(1)＝＝，＝＝.
又∠c為公共角，
故△bac∽△efc，
由∠bac＝90°，得∠efc＝90°，
故ef⊥bc.
(2)由(1)得ef＝·ab＝a，
故＝＝，＝＝，
∴＝，∴△ade∽△fbe，
所以∠ade＝∠ebc.
[由題悟法]
證明相似三角形的一般思路
(1)先找兩對內角對應相等．
(2)若只有乙個角對應相等，再判定這個角的兩鄰邊是否對應成比例．
(3)若無角對應相等，就要證明三邊對應成比例．
[即時應用]
如圖，已知在△abc中，d是bc邊的中點，且ad＝ac，de⊥bc，de與ab相交於點e，ec與ad相交於點f.
(1)求證：△abc∽△fcd；
(2)若s△fcd＝5，bc＝10，求de的長．
解：(1)證明：因為de⊥bc，d是bc的中點，所以eb＝ec，所以∠b＝∠bce.又因為ad＝ac，所以∠adc＝∠acb.
所以△abc∽△fcd.
(2)如圖，過點a作am⊥bc，
垂足為點m.
因為△abc∽△fcd，bc＝2cd，
所以＝2＝4.
又因為s△fcd＝5，所以s△abc＝20.
因為s△abc＝bc·am，bc＝10，
所以20＝×10×am，
所以am＝4.
因為de∥am，所以＝.
因為dm＝dc＝，bm＝bd＋dm，
所以＝，解得de＝.
(重點保分型考點——師生共研)
[典例引領]
如圖所示，cd垂直平分ab，點e在cd上，df⊥ac，dg⊥be，f，g分別為垂足．
求證：af·ac＝bg·be.
證明：因為cd垂直平分ab，
所以∠adc＝∠bdc＝90°，ad＝d b.
在rt△adc中，因為df⊥ac，
所以ad2＝af·ac.
同理bd2＝bg·be.
所以af·ac＝bg·be.
[由題悟法]
對射影定理的理解和應用
(1)利用直角三角形的射影定理解決問題首先確定直角邊與其射影．
(2)要善於將有關比例式進行適當的變形轉化，有時還要將等積式轉化為比例式或將比例式轉化為等積式，並且注意射影定理的其他變式．
(3)注意射影定理與勾股定理的結合應用．
[即時應用]
在rt△acb中，∠c＝90°，cd⊥ab於d，若bd∶ad＝1∶9，求tan∠bcd的值．
解：由射影定理得
cd2＝ad·bd，
又bd∶ad＝1∶9，
令bd＝x，則ad＝9x(x>0)．
∴cd2＝9x2，
∴cd＝3x.
rt△cdb中，tan∠bcd＝＝＝.
1.如圖，在四邊形abcd中，ef∥bc，fg∥ad，求＋的值．
解：由平行線分線段成比例定理得
＝，＝，
故＋＝＋＝＝1.
2.如圖，等邊三角形def內接於△abc，且de∥bc，已知ah⊥bc於點h，bc＝4，ah＝，求△def的邊長．
解：設de＝x，ah交de於點m，顯然mh的長度與等邊三角形def的高相等，
又de∥bc，則＝＝，
所以＝＝，解得x＝.
故△def的邊長為.
3.如圖，m是平行四邊形abcd的邊ab的中點，直線l過點m分別交ad，ac於點e，f，交cb的延長線於點n.若ae＝2，ad＝6，求的值．
解：∵ad∥bc，
∴△aef∽△cnf，
∴＝，∴＝.
∵m為ab的中點，
∴＝＝1，∴ae＝bn，
∴＝＝＝.
∵ae＝2，bc＝ad＝6，
∴＝＝.
4.如圖，ad，be是△abc的兩條高，df⊥ab，垂足為f，交be於點g，交ac的延長線於h，求證：df2＝gf·hf.
證明：在△afh與△gfb中，
因為∠h＋∠bac＝90°，
∠gbf＋∠bac＝90°，
所以∠h＝∠gbf.
因為∠afh＝∠bfg＝90°，
所以△afh∽△gfb，
所以＝，
所以af·bf＝gf·hf.
因為在rt△abd中，fd⊥ab，
所以df 2＝af·bf.
所以df 2＝gf·hf.
5.(2016·大連模擬)如圖，已知d為△abc中ac邊的中點，ae∥bc，ed交ab於g，交bc延長線於f，若bg∶ga＝3∶1，bc＝8，求ae的長．
解：因為ae∥bc，d為ac的中點，
所以ae＝cf，＝＝.
設ae＝x，又bc＝8，
所以＝，所以x＝4.
所以ae＝4.
6.(2016·大連模擬)如圖，在△abc中，d是ac的中點，e是bd的中點，ae的延長線交bc於f.
(1)求的值；
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