1．比較法
作差作商後的式子變形，判斷正負或與1比較大小
作差比較法-----要證明a＞b,只要證明a-b＞0。
作商比較法---已知a,b都是正數，要證明a＞b,只要證明a/b＞1
例1 求證：x2+3＞3x
證明：∵(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3
=+≥＞0
∴ x2+3＞3x
例2 已知a,br+，並且a≠b，求證
a5+b5＞a3b2+a2b3
證明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
∵ a,br+
∴ a+b＞0, a2+ab+b2＞0
又因為a≠b,所以（a-b）2＞0
∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)＞0
即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)＞0
∴ a5+b5＞a3b2+a2b3
例3 已知a,br+，求證：aabb≥abba
證明： =
∵a,br+,當a＞b時，＞1,a-b＞0，＞1;
當a≤b時,≤1,a-b≤0, ≥1.
∴ ≥1, 即aabb≥abba
綜合法了解算術平均數和幾何平均數的概念，能用平均不等式證明其它一些不等式
定理1 如果a,br，那麼a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時取「=」號）
證明：a2+b2-2ab=(a-b)2≥0
當且僅當a=b時取等號。所以
a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取等號)。
定理2 如果a,b,cr+，那麼a3+b3+c3≥3abc（當且僅當a=b=c時取「=」號）
證明：∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0
∴ a3+b3+c3≥3abc,
很明顯，當且僅當a=b=c時取等號。
例1 已知a,b,c是不全等的正數，求證
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)＞6abc.
放縮法這也是分析法的一種特殊情況，它的根據是不等式的傳遞性—
a≤b，b≤c，則a≤c，只要證明「大於或等於a的」b≤c就行了。
例,證明當k是大於1的整數時，，
我們可以用放縮法的一支——「逐步放**」，證明如下：
分析法從要證明的不等式出發，尋找使這個不等式成立的某一「充分的」條件，為此逐步往前追溯（執果索因），一直追溯到已知條件或一些真命題為止。例如要證a2＋b2≥2ab我們通過分析知道，使a2＋b2≥2ab成立的某一「充分的」條件是a2－2ab＋b2≥0，即(a－b)2≥0就行了。由於是真命題，所以a2＋b2≥2ab成立。
分析法的證明過程表現為一連串的「要證……，只要證……」，最後推至已知條件或真命題
例求證：
證明:構造圖形證明不等式
例：已知a、b、c都是正數，求證： ＋>
分析與證明：觀察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2＋ab的形式，聯想到餘弦定理：c2=a2+b2-2abcosc,為了得到a2+b2＋ab的形式,只要c=120°，
這樣：可以看成a、b為鄰邊，夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成b、c為鄰邊，夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成a、c為鄰邊，夾角為120°的的三角形的第三邊
構造圖形如下，
ab=,
bc=,
ac=顯然ab+bc>ac，故原不等式成立。
數形結合法
數形結合是指通過數與形之間的對應轉化來解決問題。數量關係如果借助於圖形性質，可以使許多抽象概念和關係直觀而形象，有利於解題途徑的探求，這通常為以形助數；而有些涉及圖形的問題如能轉化為數量關係的研究，又可獲得簡捷而一般化的解法，即所謂的以數解形。數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過對圖形的認識、數形的轉化，可以培養思維的靈活性、形象性。
通過數形結合，可以使複雜問題簡單化，抽象問題具體化。
例．證明,當x>5時,≤x-2
解:令y1=, y2=x-2, 從而原不等式的解集就是使函式y1>y2的x的取值範圍。在同一座標系中分別作出兩個函式的圖象。
設它們交點的橫座標是x0, 則=x0-2>0。解之，得x0=5或x0=1（舍）。根據圖形,很顯然成立.
反證法先假定要證不等式的反面成立，然後推出與已知條件（或已知真命題）和矛盾的結論，從而斷定反證假定錯誤，因而要證不等式成立。
窮舉法對要證不等式按已知條件分成各種情況，加以證明（防止重複或遺漏某一可能情況）。
注意：在證明不等式時，應靈活運用上述方法，並可通過運用多種方法來提高自己的思維能力。
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