不等式的證明共3道大題， 總分:320
班級________ 姓名________ 學號________ 得分________
一.選擇題 【共8道題,共40分】
1.[5分]對任意的銳角α，β，下列不等關係中正確的是
答案:d
解析：令α=，β=，則α+β=，故sinα=，cosα=，sinβ=，cosβ=，
sin（α+β）=1，cos（α+β）=0，∴sin（α+β）＜sinα+sinβ，
sin（α+β）＜cosα+cosβ，故a、b錯.
再令α=β=，∴sin（）=sin（－）=，sinα+sinβ=2sin=.
又cos（α+β）=cos= >=sinα+sinβ，故c錯.
又∵α、β∈（0，），∴α+β∈（0，π）.又∵y=cosx在（0，π）內單調遞減，且α+β>α，
∴cos（α+β）＜cosα.又∵cosβ>0，∴cos（α+β）＜cosα+cosβ，故d正確.
知識點:函式,三角函式的化簡、求值及恒等式的證明,不等式的證明,,
年份:2023年試卷名稱:2023年普通高等學校夏季招生考試數學(文史類)北京卷(新課程) 原卷題號:6
4.[5分]已知sin（+π）<0,cos（－π）>0，則下列不等關係中必定成立的是
<0,cos>0
>0,cos<0
>0,cos>0
<0,cos<0
答案:b
知識點:不等式的證明,,
年份:2023年試卷名稱:2023年普通高等學校春季招生考試數學(文史類)北京卷(舊課程) 原卷題號:5
5.[5分]若0＜＜＜，sin+cos=a，sin+cos=b，則………（ ）
>b<1>2答案:a
知識點:不等式的證明,,,
年份:2023年試卷名稱:2023年普通高等學校夏季招生考試數學(文史類)全國卷(舊課程) 原卷題號:8
6.[5分]若0＜α＜β＜，sin+cos= a，sinβ+cosβ=b，則………( )
>b<1>2答案:a
知識點:不等式的證明,,,,,
年份:2023年試卷名稱:2023年普通高等學校夏季招生考試數學(文史類)天津卷(新課程) 原卷題號:7
7.[5分]若0＜＜＜，sin+cos=a，sin+cos=b，則………（ ）
>b<1>2答案:b
知識點:不等式的證明,,,
年份:2023年試卷名稱:2023年普通高等學校夏季招生考試數學(文理合捲)廣東、河南卷(舊課程) 原卷題號:6
8.[5分]若＞＞1， ，則
（a）r＜p>q
（b）p＜q＜r
（c）q＜p>r
（d）p＜r＜q
答案:b
知識點:不等式的證明,,,
年份:2023年試卷名稱:2023年普通高等學校夏季招生考試數學(文理合捲)廣東卷(舊課程) 原卷題號:7
二.填空題 【共2道題,共10分】
2.[5分]對於x∈r，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集為________．
答案:[0，＋∞)
解析：令
則可畫出其函式圖象如圖所示：
由圖象可以觀察出使y≥8的x的範圍為[0，＋∞)．
∴|x＋10|－|x－2|≥8的解集為[0，＋∞)．
知識點:不等式的證明
年份:2023年試卷名稱:2023年普通高等學校夏季招生全國統一考試數學文史類(江西卷) 原卷題號:15
三.解答題 【共21道題,共270分】
1.[12分]設f(x)＝ln x+－1，證明：
（1）當x＞1時，f(x)＜(x－1)；
（2）當1＜x＜3時，．
答案:證明：（1）證法一：記g(x)＝ln x+－1－(x－1)，則當x＞1時，
．又g（1）＝0，有g(x)＜0，即f(x)＜(x－1)．
證法二：由均值不等式，當x＞1時，＜x+1，故
．①令k(x)＝ln x－x+1，則k（1）＝0，k′(x)＝－1＜0．
故k(x)＜0，即ln x＜x－1．②
由①②得，當x＞1時，f(x)＜(x－1)．
（2）證法一：記h(x)＝f(x)－．
由（1）得
＝．令g(x)＝(x+5)3－216x．
則當1＜x＜3時，g′(x)＝3(x+5)2－216＜0，
因此g(x)在(1,3)內是遞減函式．
又由g（1）＝0，得g(x)＜0，
所以h′(x)＜0，
因此h(x)在(1,3)內是遞減函式．
又h（1）＝0，得h(x)＜0．
於是當1＜x＜3時，．
證法二：記h(x)＝(x+5)f(x)－9(x－1)，
則當1＜x＜3時，由（1）得
h′(x)＝f(x)+(x+5)f′(x)－9
＜(x－1)+(x+5)()－9
＝［3x(x－1)+(x+5)(2+)－18x］
＜［3x(x－1)+(x+5)(2++)－18x］
＝(7x2－32x+25)＜0，
因此h(x)在(1,3)內單調遞減．
又h（1）＝0，所以h(x)＜0，即．
知識點:對數與對數函式,不等式的證明,
年份:2023年試卷名稱:2023年普通高等學校夏季招生全國統一考試數學文史類（遼寧卷） 原卷題號:21
2.[10分] [選修4－5：不等式選講]已知實數x，y滿足：|x+y|＜，|2x－y|＜，求證：|y|＜.
答案:證明：因為3|y|＝|3y|＝|2(x+y)－(2x－y)|≤2|x+y|+|2x－y|，由題設知|x+y|＜，|2x－y|＜，從而，所以.
知識點:不等式的證明,含有絕對值的不等式,
年份:2023年試卷名稱:2023年普通高等學校夏季招生全國統一考試數學（江蘇卷） 原卷題號:24
3.[10分]「數學史與不等式選講」模組
設正數x，y，z滿足2x＋2y＋z＝1
（1）求3xy＋yz＋zx的最大值；
（2）證明：
答案:（1）解：3xy＋yz＋zx＝3xy＋(x＋y)z＝3xy＋(x＋y)[1－2(x＋y)]
＝3xy＋(x＋y)－2(x＋y)2≤ (x＋y)2＋(x＋y)－2(x＋y)2
＝ (x＋y)2＋(x＋y)
.當且僅當x＝y＝z＝時等號成立，3xy＋xz＋yz取到最大值.
（2）證明：由柯西不等式和（1）得
.知識點:算術平均數和幾何平均數,不等式的證明
年份:2023年試卷名稱:2023年普通高等學校夏季招生全國統一考試自選模組測試 (浙江卷) 數學原卷題號:1
4.[14分]設b＞0，數列滿足a1＝b， (n≥2)．
（1）求數列的通項公式；
（2）證明：對於一切正整數n，.
答案:解：（1）由， (n≥2)得(n≥2)，
當b＝1時，(n≥2)，數列是首項為1，公差為1的等差數列，∴，∴an＝1
當b≠1時，由待定係數法得)(n≥2)，
數列是首項為，公比為的等比數列，∴∴，
綜上所述，當b＝1時，an＝1；當b≠1時，.
（2）證明：當b＝1時，an＝1，左邊＝右邊＝2，不等式成立；
當b≠1時，，不等式2an≤bn＋1＋1轉化成，
即，由基本不等式得，，…，，從而不等式得證．
知識點:數列的求和及應用,不等式的證明
年份:2023年試卷名稱:2023年普通高等學校夏季招生全國統一考試數學文史類(廣東卷) 原卷題號:20
5.[16分]若實數x、y、m滿足|x－m|＜|y－m|，則稱x比y接近m.
(1)若x2－1比3接近0，求x的取值範圍；
(2)對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab；
(3)已知函式f(x)的定義域d＝．任取x∈d，f(x)等於1＋sinx和1－sinx中接近0的那個值．寫出函式f(x)的解析式，並指出它的奇偶性、最小正週期、最小值和單調性(結論不要求證明)．
答案:(1)解：由題意得|x2－1|＜3，即－3＜x2－1＜3，解得－2＜x＜2.
∴x的取值範圍是(－2,2)
(2)證明：當a、b是不相等的正數時，
a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)＞0，
又a2b＋ab2＞2ab，則a3＋b3＞a2b＋ab2＞2ab＞0，
於是，|a2b＋ab2－2ab|＜|a3＋b3－2ab|，
∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
(3)解：由|1－sinx|＜|1＋sinx|得1－sinx＜1＋sinx，
即sinx＞0，則2kπ＜x＜2kπ＋π(k∈z)；
同理，若|1＋sinx|＜|1－sinx|，
則2kπ＋π＜x＜2kπ＋2π(k∈z)．
於是，函式f(x)的解析式是
f(x)＝
函式f(x)的大致影象如下：
函式f(x)的最小正週期t＝π.
函式f(x)是偶函式．
當x＝kπ＋ (k∈z)時，函式f(x)取得最小值0.
函式f(x)在(kπ，kπ＋](k∈z)上單調遞減；
在[kπ＋，kπ＋π)(k∈z)上單調遞增．
知識點:不等式的證明,不等式的解法
年份:2023年試卷名稱:2023年普通高等學校夏季招生考試數學文史類(上海卷) 原卷題號:22
6.[10分]選修4—5：不等式選講
已知a，b，c均為正數，證明：a2＋b2＋c2＋，並確定a，b，c為何值時，等號成立．
答案:解：法一：因為a，b，c均為正數，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)， ①
≥，所以()2
故a2＋b2＋c2＋()2
所以原不等式成立．
當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立．
當且僅當時，③式等號成立．
即當且僅當a＝b＝c＝時，原式等號成立．
法二：因為a，b，c均為正數，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，
c2＋a2≥2ac.
均值不等式與不等式的證明
一 已知不等式的關係，求目標式的取值範圍 例1 2010遼寧理14 已知的取值範圍變式1 已知且，求的範圍。變式2 2010江蘇12 設為實數，滿足則的最大值是二 利用均值不等式求函式的最值 利用均值不等式求最值要注意條件的驗證 例1 1 若，求函式的最小值 2 若，求函式的值域 變式1.1 求函式...
不等式的證明及著名不等式
1 基本不等式 1 定理 如果a，b r，那麼a2 b2 2ab，當且僅當a b時，等號成立 2 定理 基本不等式 如果a，b 0，那麼 當且僅當 時，等號成立 也可以表述為 兩個 的算術平均它們的幾何平均 3 利用基本不等式求最值 對兩個正實數x，y，如果它們的和s是定值，則當且僅當 時，它們的積...
不等式的證明
不等式的證明是高中數學中的難點，常常和其他章節結合起來一起來出題，要求能掌握其基本的解題方法。1 作差法 作差法的理論基礎 例 求證 x2 3 3x 例 已知a,b都是正數，求證 總結 作差法注意事項 1.當不等號左右兩邊有公因式或者可以配方時用作差法 2.步驟分三步 作差,變形,判斷 二 作商法 ...