一原函式存在定理在不等式證明題中的應用
原函式存在定理設是區間上的可積函式，對於令，
則 (ⅰ) 若在上可積，則在上連續。
(ⅱ) 若在上連續，則在上可導，且。
(ⅲ) 設在上連續，、是可導函式，且，
則上述原函式存在定理在匯出newton—leibniz公式以及在理論和計算方面具有廣泛的應用。下面通過幾個例題表明，基於存在定理，可適當作輔助函式，證明相關的一些不等式，是非常簡便的。
例1 設是上的連續函式且單調增加，證明：
證明令，則
又因為單調增加，故在單調增加，則
，特別地，我們有，即
例2 設是上的連續函式，而且是非負和下凸的，，求證：
證明記，則
由於下凸，故
所以，在單調增加，
從而，，即
，其中特別地，當時，我們有
例3 設是上的連續函式，且對任意的和，積分值與無關，求證：存在常數，使得,
證明由於與無關
故對於和以及則有記
則 所以
特別令,我們得到
容易驗證滿足題設條件。
例4 若是連續函式，求證：
證明令則
由於 ，
所以即二抽象與具體函式積分不等式的證明
（一）、 抽象函式的積分不等式
例1[1] (江蘇省第6界非理科專業高等數學競賽本科二卷第2題)設是上連續單調減少, ,求證:
證法一注意到不等式兩邊積分區間不同,自然想到利用積分間變得一致.
為此令,則
故 因為單調減少,又,
所以從而即證明方法二由於兩個積分的積分區間不同,故先利用定積分的性質,把積分區間分成兩個區間與然後應用積分中值定理.
即 ,
即證明方法三原不等式等價於,顯然當時等號成立,由此只要證明在區間上是單調減少的即可,故構造輔助函式
則證明方法四仿三, , ,
則故在上是單調減少的,所以
即證法五由題設,要求證之不等式等價於
由此啟示:可建構函式,只要證明此函式是單調減函式的即成立.由於
所以單調遞減。
即由上例可見，對於在區間i上連續、單調的函式的積分不等式其證明思路是：
1． 當積分不等式積分區間不同時，可以先作積分變換使得積分區間都相同，然後運用定積分的性質及函式的單調性得出結論；
2． 利用定積分的性質把積分區間分拆，再利用積分中值定理去掉積分號變為普通不等式證明；
3． 通過恒等變形使不等式的右端為零，再把不等式中的積分上限常數變成未知量，構造輔助函式，利用函式的單調性證明；
4． 把欲證之不等式通過恒等變形，變為（或）的形式，利用的單調性加以證明。
例2 設，在上連續、單調，並且單調性相同，證明：
證法一仿照例1令則，
故只要證明單調增加即可，而
只要觀察一下就知道，這裡只有三項，無法配對以確定其符號，故構造的輔助函式其導數缺少一項，由此，令則
由於，的單調性一致，故
所以即在上單調增加，所以
說明構造輔助函式時，不是簡單的把定積分寫成積分變上限函式就行的，有時需要通過觀察作進一步的改進。
證法二注意到，
即 上式兩邊同時對在上積分，利用定積分的性質可得
即由方法二可知，本題的函式在上連續的條件可以削弱為函式在區間上可積。
例3 設在區間上，，，，令，，，試比較，，的大小。
解本題從條件容易看出，關鍵的是比較與的大小。
令 ，
則，所以在上是單調遞增的，故
所以（二）、具體函式的積分不等式
例4 證明：
證明當時，，所以，
故即 例5 證明：
證明當時，
所以例6 證明：
證明令，則
於是當時，單調減少，又，於是當時，。故
例4 、例5 、例6可見，具體函式的積分不等式的證明方法是：
⑴把被積函式根據不等式適當放大縮小；
⑵求出被積分函式的最值（或上下確界）。
有時積分不等式中既有抽象函式，又有具體函式則可根據具體情況進行縮放。
例7 設函在上導數連續，，求證對任意正整數有
證明抽象函式積分不等式的證明雖然理論性很強，有時我們很難把握，但是一旦將上面的方法透徹的分析到位，此類證明題目還是很好解決的。而具體函式的有關不等式的證明雖然給我們的感覺很是一目了然，但是要想真正的靈活應用，還是需要一番精細的推敲，但無論是哪一種都是我們在當前見到常見到的不等式證明，還是具有一定的代表性。
三特殊的幾類定積分不等式的證明
定積分不等式的證明題，初學者往往感到無從下手，主要是因為由條件向結論過渡的解題方向不易確定。那麼針對此種情況我們可以根據命題的條件歸納出的證明方法和基本思路。
㈠幾類定積分不等式的證明
證明定積分的不等式，通常要用到定積分的比較定理（性質），估值定理（性質），函式的單調性、微分和積分中值定理以及泰勒展開式等基本理論和公式。下面分三種型加以討論。
一般情況下，此類命題可嘗試用三種方法：
⒈是利用定積分的定義，把積分號代換成和號，再取極限。
例1 設是正值連續函式，證明：
證明以和符號代替積分號，由「算術平均值大於等於幾何平均值」得
令，得即例2 試證：存在，當時，
證明只要證 即
由於則有
即有 例3 在上, ,且與均可積，試證：
證明將等分，每個小區間的長度，分點
由於、在上均可積，且
所以，再由正數的算術平均數不小於它們的調和平均數，可知
即⒉化為二重積分，再利用熟知的不等式進行放縮
例2 設、在上連續，證明：
證明 ，由
得⒊作輔助函式，將結論中的積分上限（下限）換成，式中相同的字母也換成移項，使不等式一端為零，則另一端的表示式即為所作的輔助函式。
此類命題的證明思路：
⑴作輔助函式；
⑵求的導數，並判別的單調性；
⑶求在積分區間的端點和，從而推知，
或，使命題得證。
例3[2] 設在上連續，證明：
證明把結論中的換成，移項得
設，則為單調減函式，故
即有1 已知被積函式一階可導，並給出端點的函式值符號或數值。
證明此類不等式一般需要應用微分中值定理，然後再利用已知條件進行適當放縮，此類命題的證明思路：
a. 寫出含端點的lagrange中值定理；
b. 再根據題意進行放縮，變成不等式；
c. 用定積分的有關性質進行分析處理。
例4 設在上可導，且， ，證明：
證明由lagrange中值定理可得
已知，故，則
。2 已知被積函式二階或二階以上可導，且又知最高端導數的符號。
此類命題通常採用泰勒展開或分部積分來證明。
a 利用泰勒展開式，其證明思路如下：
a 直接寫出的泰勒展開式；
b 再根據題進行適當放縮，變成不等式；
c 用定積分的性質進行分析處理。
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