用向量方法證明平行與垂直課後強化作業新人教a版
基礎鞏固強化
一、選擇題
1．已知正方體abcd－a1b1c1d1中，e為側面bcc1b1的中心．若＝z＋x＋y，則x＋y＋z的值為( )
a．1 b.
c．2 d.
[答案] c
[解析] ∵＝＋＝＋＋.
∴x＋y＋z＝1＋＋＝2.
2．(2012·銀川質檢)若直線l1、l2的方向向量分別為a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，則( )
a．l1∥l2 b．l1⊥l2
c．l1與l2相交但不垂直 d．以上均不正確
[答案] b
[解析] ∵a·b＝2×(－6)＋4×9＋(－4)×6＝0，
∴a⊥b，∴l1⊥l2.
3．已知空間四邊形abcd的每條邊和對角線的長都等於a，點e、f分別是bc、ad的中點，則·的值為( )
a．a2 b. a2
c. a2 d. a2
[答案] c
[解析a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.故選c.
4．已知二面角α－l－β的大小為60°，點b、c在稜l上，a∈α，d∈β，ab⊥l，cd⊥l，ab＝2，bc＝1，cd＝3，則ad的長為( )
a. b. c．2 d．2
[答案] c
[解析] 由條件知||＝2，||＝1，||＝3，⊥，⊥，〈，〉＝120°，＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝4＋1＋9＋2×2×3×cos120°＝8，
∴||＝2.
5．平面α經過三點a(－1,0,1)、b(1,1,2)，c(2，－1,0)，則下列向量中與平面α的法向量不垂直的是( )
a. b．(6，－2，－2)
c．(4,2,2) d．(－1,1,4)
[答案] d
[解析] 設平面α的法向量為n，則n⊥，n⊥，n⊥，所有與(或、)平行的向量或可用與線性表示的向量都與n垂直，故選d.
6．二面角的稜上有a、b兩點，直線ac、bd分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直於ab.已知ab＝4，ac＝6，bd＝8，cd＝2，則該二面角的大小為( )
a．150° b．45°
c．60° d．120°
[答案] c
[解析] 由條件知，·＝0，·＝0，
＝＋＋.
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉
＝116＋96cos〈，〉＝(2)2，
∴cos〈，〉＝－，
∴〈，〉＝120°，所以二面角的大小為60°.
二、填空題
7.如圖，正方體abcd－a1b1c1d1的稜長為1，e、f分別是稜bc、dd1上的點，如果b1e⊥平面abf，則ce與df的和的值為________．
[答案] 1
[解析] 以d1為原點，直線d1a1、d1c1、d1d為x軸、y軸、z軸建立空間直角座標系，則a(1,0,1)，b(1,1,1)，b1(1,1,0)，
設df＝t，ce＝k，則d1f＝1－t，∴f(0,0,1－t)，e(k,1,1)，要使b1e⊥平面abf，易知ab⊥b1e，故只要b1e⊥af即可，
∵＝(－1,0，－t)，＝(k－1,0,1)，
∴·＝1－k－t＝0，∴k＋t＝1，即ce＋df＝1.
8．如圖，在平行四邊形abcd中，·＝0,22＋2＝4，若將其沿bd折成直二面角a－bd－c，則三稜錐a－bcd的外接球的體積為________．
[答案] π
[解析] 因為ab⊥bd，二面角a－bd－c是直二面角，所以ab⊥平面bcd，∴ab⊥bc，ad⊥dc.故△abc，△adc均為直角三角形．取ac的中點m，則ma＝mc＝md＝mb，故點m即為三稜錐a－bcd的外接球的球心．由22＋2＝42＋2＋2＝2＝4，∴ac＝2，∴r＝1.故所求球的體積為v＝π.
9．(2012·廈門質檢)已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為________．
[答案]
[解析] |a|＝＝3，
|b|＝＝3，
a·b＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos〈a，b〉＝＝，sin〈a，b〉＝，s平行四邊形＝|a||b|·sin〈a，b〉＝.
三、解答題
10.如圖，四稜錐p－abcd中，pa⊥平面abcd，pb與底面所成的角為45°，底面abcd為直角梯形，∠abc＝∠bad＝90°，pa＝bc＝ad＝1.
(1)求證：平面pac⊥平面pcd；
(2)在稜pd上是否存在一點e，使ce∥平面pab？若存在，請確定e點的位置；若不存在，請說明理由．
[解析] (1)證明：∵pa⊥平面abcd，
∴pb與平面abcd所成的角為∠pba＝45°.∴ab＝1，
由∠abc＝∠bad＝90°，易得cd＝ac＝，∴ac⊥cd.
又∵pa⊥cd，pa∩ac＝a，
∴cd⊥平面pac，又cd平面pcd，
∴平面pac⊥平面pcd.
(2)分別以ab、ad、ap為x軸、y軸、z軸建立空間直角座標系．
∴p(0,0,1)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，設e(0，y，z)，則＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)．
∵∥，∴y·(－1)－2(z－1)＝0①
∵＝(0,2,0)是平面pab的法向量，
又＝(－1，y－1，z)，ce∥平面pab.∴⊥.
∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1.
將y＝1代入①，得z＝.∴e是pd的中點，
∴存在e點使ce∥平面pab，此時e為pd的中點.
能力拓展提公升
11.(2013·杭州模擬)直三稜柱abc－a′b′c′中，ac＝bc＝aa′，∠acb＝90°，d、e分別為ab、bb′的中點．
(1)求證：ce⊥a′d；
(2)求異面直線ce與ac′所成角的余弦值．
[解析]
(1)證明：設＝a，＝b，＝c，根據題意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a
∴·＝－c2＋b2＝0.
∴⊥，即ce⊥a′d.
(2)＝－a＋c，＝b＋c，
∴||＝|a|，||＝|a|.
·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
即異面直線ce與ac′所成角的余弦值為.
12．如圖，已知ab⊥平面acd，de∥ab，△acd是正三角形，ad＝de＝2ab，且f是cd的中點．
(1)求證：af∥平面bce；
(2)求證：平面bce⊥平面cde.
[證明] 證法一：(1)
取ce的中點p，連線fp、bp，
∵f為cd的中點，
∴fp∥de，且fp＝de.
又ab∥de，且ab＝de，
∴ab∥fp，且ab＝fp，
∴四邊形abpf為平行四邊形，∴af∥bp.
又∵af平面bce，bp平面bce，
∴af∥平面bce.
(2)∵△acd為正三角形，∴af⊥cd.
∵ab⊥平面acd，de∥ab，∴de⊥平面acd，
又af平面acd，∴de⊥af.
又af⊥cd，cd∩de＝d，∴af⊥平面cde.
又bp∥af，∴bp⊥平面cde.
又∵bp平面bce，∴平面bce⊥平面cde.
證法二：設ad＝de＝2ab＝2a，建立如圖所示的座標系a－xyz，則a(0,0,0)，c(2a,0,0)，b(0,0，a)，d(a， a,0)，e(a， a,2a)．
∵f為cd的中點，∴f(a， a,0)．
(1)＝(a， a,0)，＝(a， a，a)，＝(2a,0，－a)，∴＝(＋)，
∵af平面bce，∴af∥平面bce.
(2)∵＝(a， a,0)，＝(－a， a,0)，＝(0,0，－2a)，∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，∴af⊥cd，af⊥ed.
又cd∩de＝d，∴af⊥平面cde.
又af∥平面bce，∴平面bce⊥平面cde.
13.(2013·泰安適應性訓練)如圖，平面pac⊥平面abc，△abc是以ac為斜邊的等腰直角三角形，e，f，o分別為pa，pb，ac的中點，ac＝16，pa＝pc＝10.
(1)設g是oc的中點，證明：fg∥平面boe；
(2)證明在△abo內存在一點m，使fm⊥平面boe，並求點m到oa，ob的距離．
[解析] (1)
37用向量方法證明平行關係
用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角 使用說明及學法指導 1.先精讀一遍教材選修2 1的p95 p98，用紅色筆進行勾畫 再針對預習自學二次閱讀並回答 2.若預習完可對合作 部分認真審題，做不完的正課時再做，對於選作部分bc層可以不做 3.找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課上討論質疑。4...
用空間向量證明線線垂直與線面垂直
一 空間向量及其數量積 1 在空間，既有大小又有方向的量稱為空間向量。用或表示，其中向量的大小稱為向量的長度或模，記為或。正如平面向量可用座標 x,y.表示，空間向量也可用座標 x,y,z 表示。若已知點a座標為 x1，y1，z1 點b座標為 x2，y2，z2 則向量 x2 x1，y2 y1，z2 ...
向量方法證平行和垂直
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