高二數學學案姓名班級
3.2．2用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角
學習目標：
1、進一步理解向量的座標表示和座標運算
2、能建立適應的空間直角座標系並利用座標方法求空間兩個向量的夾角
3、利用向量的數量積解決與立體幾何有關的問題
複習回顧
1、 向量數量積的運算及其性質
2、 向量夾角與線線夾角的聯絡與區別
3、 如何求向量的夾角
一、課前達標：
1、異面直線所成的角：
分別在直線上取定向量[,\\vec,', 'altimg': '5013a03c3510edf9a49d9e76399d485e.png', 'w':
'67', 'h': '37'}]則異面直線所成的角等於向量[,\\vec', 'altimg': '078d08e40b7200545f2475d64885e634.
png', 'w': '56', 'h': '37'}]所成的角或其補角（如圖1所示），則[\\vec|}||\\vec|}.
', 'altimg': 'b2359da5c5c2866928ad3bc308fa19eb.png', 'w':
'158', 'h': '73'}]
2、預習檢測
（1）如圖，正方體abcd-a1b1c1d1中，e、f分別是bb1、d1b1的中點，求證ef⊥da1.
（2）如圖，在正方體abcda′b′c′d′中，e`1 、f1分別是a1b`1、c1d1的四等分點，求be1與df1所成的角．
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二、典例分析：
1、建立座標系證明線線垂直，求夾角
例3 在稜長為1的正方體中abcd－a1b1c1d1中，e、f分別為dd1、bd的中點，g在cd上，且cg＝cd/4，h為c1g的中點，⑴求證：ef⊥b1c；⑵求ef與c1g所成角的余弦值；⑶求fh的長。
注意思考：
（1） 如何建立座標系、把已知條件轉化為向量表示？
（2） 如何對已經表示出來的向量進行運算才可獲得所需結論？
鞏固練習：練習a 1 練習b 1
2、選取基向量求解線線夾角：例4、（見課本100頁）[\\\\ ∠coa=90^,m,n分別是oa,bc中點,求直線mn,bc所成角', 'altimg': '07bcb9909c922bad05dd2d10391e7212.
png', 'w': '484', 'h': '52
注意：基向量的選取；如何用基向量來表示未知向量。
鞏固練習：練習b 3
三：作業：如下圖，直稜柱abc—a1b1c1的底面△abc中，ca=cb=1，∠bca=90°，稜aa1=2，m、n分別是a1b1、a1a的中點.
（1）求[', 'altimg': 'b46870a338ead863ef2b94ffc4c41dde.png', 'w':
'32', 'h': '37'}]的長； （2）求cos〈[}', 'altimg': '2d39c46fcfe8da18c44c39bad0e2f5ac.
png', 'w': '41', 'h': '40'}]，[}', 'altimg':
'dd42388d94a8b1b65fad0dbabbbc0bc5.png', 'w': '39', 'h':
'40'}]〉的值； （3）求證：a1b⊥c1m.
18. 已知：pa⊥矩形abcd，m、n分別為ab、pc中點。
（1）求證：mn//平面pad；（2）求證：mn⊥cd；（3）若∠pda＝45°，求證mn⊥平面pcd。
總結反思：空間向量的引入，給傳統的立體幾何內容注入了新的活力，向量是既有大小又有方向的量，既具有圖形的直觀性，又有代數推理的嚴密性，是數形結合的乙個很好的橋梁。而空間向量是處理空間問題的重要方法，通過將空間元素間的位置關係轉化為數量關係，將過去的形式邏輯證明轉化為數值計算，化繁難為簡易，化複雜為簡單，為學生處理某些立體幾何問題提供了的新視角。
借助空間向量這一工具，可以降低思維難度，增加了可操作性，從而減輕了學生負擔，使他們對立體幾何更容易產生興趣。
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構全等證垂直 證明兩直線互相垂直的方法較多，下面介紹如何構造全等三角形證明垂直，供同學們學習時參考 例1如圖1 在 abc中，ad ae分別為bc邊上的高線與中線，且 1 2 3，求證 ba ac.分析 欲證ba ac只需證 1 2 3 90 1 2 3，又只需證 1 2 3 30 過e點作ef a...
38用向量運算證明兩線垂直或求夾角
用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角 使用說明及學法指導 1.先精讀一遍教材選修2 1的p99 p101，用紅色筆進行勾畫 再針對預習自學二次閱讀並回答 2.若預習完可對合作 部分認真審題，做不完的正課時再做，對於選作部分bc層可以不做 3.找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課上討論質疑。...
直線與平面垂直證明
高中數學專題輔導直線與平面垂直證明 1 已知直線，與平面，指出下列命題是否正確，並說明理由 1 若 則與相交 2 若，則 3 若 則 2 如圖，在正方體中,則與的 位置關係與的位置關係 進而可得bd1與平面acb1的關係 3 已知 平面，則與的位置關係是 a b c 與垂直相交 d 與垂直且異面 4...