構全等證垂直
證明兩直線互相垂直的方法較多，下面介紹如何構造全等三角形證明垂直，供同學們學習時參考．
例1如圖1．在△abc中，ad、ae分別為bc邊上的高線與中線，且∠1=∠2=∠3，求證：ba⊥ac.
分析：欲證ba⊥ac只需證∠1+∠2+∠3=90°．∵∠1=∠2=∠3，∴又只需證∠1=∠2=∠3=30°．過e點作ef⊥ac，垂足為f，由已知不難證得rt△ade≌rt△afe(aas)，∴de=ef．∵rt△abd≌rt△ade(asa)，∴bd=de．於
證明略，以下同．
例2如圖2，在△abc中，ac2+bc2=ab2，求證：ac⊥cb．
分析：欲證ac⊥cb，由ac2+bc2=ab2，我們可作乙個rt△a』b』c』，使∠c』=rt∠，a』c』=ac，b』c』=bc．在rt△a』b』c』中，據勾股定理得a』c』2+b』c』2=a』b』2．即ac2+bc2=a』b』2，∴ab=a』b』．∴△abc≌△a』b』c』(sss)．∴∠c=∠c』=rt∠．
例3如圖3，在rt△abc中， ∠bac=90°，以ab、ac為邊向形外作正方形abde、acfg．延長de、fg交於k，鏈結ka．求證：ka⊥bc．
分析：延長ka交bc於h．欲證ka⊥bc，只需證∠1+∠3=90°．∵∠1=∠2，∠2+∠4=90°，∴又只需證∠3=∠4．由已知不難證得rt△abc≌rt△eak(sas)，∴∠3=∠4．
例4如圖4，已知ab=ae，∠b=∠e，bc=ed，f是cd的中點．求證：af⊥cd．
分析：欲證af⊥cd．∵f是cd的中點，鏈結ac、ad，∴只需證△acd為等腰三角形．∵ab=ae，∠b=∠e，bc=ed，∴△abc≌△aed(sas)，∴ac=ad．∴△acd為等腰三角形．
例5如圖10，在rt△abc中，以ab為邊向形外作正方形abde，延長ab到f使bf=ac，cd與af交於h．求證：eh⊥cf．
分析：欲證eh⊥cf，∵fa⊥ec，鏈結ef，由垂心定義知，只需證cd⊥ef．∵bf＝ac，abde是正方形，∴ae=ab，∴ec=fa．於是有rt△aef≌rt△edc，∴∠1=∠2=∠3．∠3+∠fec=90°，∴∠1+∠fec=90°，於是有cd⊥ef．∴h為△cef的垂心，故eh⊥fc．
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