構造全等三角形證明競賽題

江西安義人

全等三角形是能夠完全重合的兩個三角形，它們的對應邊相等，對應角相等。對於某些競賽題，考慮構造全等三角形並利用這兩個相等，可使其解答巧妙、迅捷。

一、 與線段相等有關的競賽題

例１（成都市初二數學競賽題）如圖１，△abc的兩條高bd、ce相交於點p，且pd＝pe。求證：ac＝ab。

簡證：連ap。

因為∠pda＝∠pea＝90°，pd＝pe，pa＝pa，

所以△pda≌△pea（hl）。

所以ad＝ae。

因為∠１＝90°－∠cab＝∠２，

所以△ace≌△abd（aas）。

所以ac＝ab。

圖圖２例２（天津市初二數學競賽題）如圖２，ac＝bc，∠acb＝90°，∠a的平分線ad交bc於點d，過點b作be⊥ad於點e。求證：be＝ad。

簡證：延長be、ac交於點f。

因為∠１＝∠２，ae＝ae，∠aeb＝∠aef＝90°，

所以△aeb≌△aef（asa）。

所以be＝fe＝bf。

因為∠３＝90°－∠f＝∠２，bc＝ac,

所以△bcf≌△acd（asa）。

所以bf＝ad，be＝ad。

二、 與角相等有關的競賽題

例３（贛州市初三數學競賽題）如圖３，△abc中，∠acb＝90°，ac＝bc，bd是中線，ce⊥bd於點e，交ab於點f。求證：∠adf＝∠cde。

簡證：過點a作ag⊥ac交cf的延長線於點g。

因為∠１＝90°－∠３＝∠２，ac＝bc，

所以△cag≌△bcd（asa）。

所以ag＝cd＝ad，∠g＝∠cde。

因為∠４＝45°＝∠５，af＝af,

所以△adf≌△agf（sas）。

所以∠adf＝∠g＝∠cde。

圖圖４例４（上海市初中數學競賽題）如圖４，四邊形abcd中，ac平分∠bad，ce⊥ab於點e，ae＝（ad＋ab）。求證：∠adc＋∠abc＝180°。

簡證：過點c作cf⊥ad交ad的延長線於點f。

因為∠２＝∠３，ac＝ac，

所以△acf≌△ace（aas）。

所以cf＝ce，af＝ae。

因為ad＋ab＝２ae，ab＝ae＋eb，

所以eb＝ae－ad。

因為fd＝af－ad，

所以eb＝fd。

所以△ceb≌△cfd（sas）。

所以∠abc＝∠5。

所以∠adc＋∠abc＝∠adc＋∠５＝180°。

構造全等三角形證明競賽題

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