專題：構造全等三角形
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倍長中線法：即把中線延長一倍，來構造全等三角形。
1、如圖1，在△abc中，ad是中線，be交ad於點f，且ae＝ef．
試說明線段ac與bf相等的理由．
簡析由於ad是中線，於是可延長ad到g，使dg＝ad，鏈結bg，則
在△acd和△gbd中，ad＝gd，∠adc＝∠gdb，cd＝bd，所以△acd≌△gbd（sas），
所以ac＝gb，∠cad＝∠g，而ae＝ef，所以∠cad＝∠afe，
又∠afe ＝∠bfg，所以∠bfg＝∠g，所以bf＝bg，所以ac＝bf．
說明要說明線段或角相等，通常的思路是說明它們所在的兩個
三角形全等，而遇到中線時又通常通過延長中線來構造全等三角形．
法一：如圖，在△abc中，ad平分∠bac。在ab上擷取ae=ac，鏈結de。
（ 可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻摺三角形來構造全等三角形。）
法二：如圖，在△abc中，ad平分∠bac。延長ac到f，使af=ab，鏈結df。
(可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻摺三角形來構造全等三角形。)
法三：在△abc中，ad平分∠bac。作dm⊥ab於m，dn⊥ac於n。
(可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻摺三角形來構造全等三角形)
（還可以用「角平分線上的點到角的兩邊距離相等」來證dm=dn）
2、已知：如圖，在四邊形abcd中，bd是∠abc的角平分線，ad=cd，求證：∠a+∠c=180°
法一：證明：在bc上擷取be，使be=ab，鏈結de。 法二：延長ba到f，使bf=bc，鏈結df。
∵ bd是∠abc的角平分線（已知bd是∠abc的角平分線（已知）
∴∠1=∠2（角平分線定義1=∠2（角平分線定義）
在△abd和△ebd中在△bfd和△bcd中
∵ ab=eb（已知bf=bc（已知）
∠1=∠2（已證1=∠2（已證）
bd=bd（公共邊bd=bd（公共邊）
∴△abd≌△ebd（
∴ ∠a＝∠3（全等三角形的對應角相等f＝∠c（全等三角形的對應角相等
ad=de（全等三角形的對應邊相等df=dc（全等三角形的對應邊相等）
∵ ad=cd（已知），ad=de（已證ad=cd（已知），df=dc（已證）
∴de=dc（等量代換df=ad（等量代換）
∴∠4=∠c（等邊對等角4=∠f（等邊對等角）
∵ ∠3+ ∠4＝180° （平角定義f＝∠c（已證）
∠a＝∠3（已證4=∠c（等量代換）
∴∠a+ ∠c＝180°（等量代換3+ ∠4＝180°（平角定義）
a+ ∠c＝180°（等量代換）
法三：作dm⊥bc於m，dn⊥ba交ba的延長線於n。
∵ bd是∠abc的角平分線（已知）
∴∠1=∠2（角平分線定義）
∵ dn⊥ba，dm⊥bc（已知）
∴∠n=∠dmb=90°（垂直的定義）
在△nbd和△mbd中
∵ ∠n=∠dmb （已證）
∠1=∠2（已證）
bd=bd（公共邊）
∴△nbd≌△mbd（
∴ nd=md（全等三角形的對應邊相等）
∵ dn⊥ba，dm⊥bc（已知）
∴△nad和△mcd是rt△
在rt△nad和rt△mcd中
∵ nd=md （已證）
ad=cd（已知）∴rt△nad≌rt△mcd（
∴ ∠4=∠c（全等三角形的對應角相等）
∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定義），
∠a＝∠3（已證）
∴∠a+ ∠c＝180°（等量代換）
法四：作dm⊥bc於m，dn⊥ba交ba的延長線於n。
∵ bd是∠abc的角平分線（已知）
dn⊥ba，dm⊥bc（已知）
∴ nd=md（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等） ∵ dn⊥ba，dm⊥bc（已知）
∴△nad和△mcd是rt△
在rt△nad和rt△mcd中
∵ nd=md （已證）
ad=cd（已知）∴rt△nad≌rt△mcd（
∴ ∠4=∠c
（全等三角形的對應角相等）
∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定義）
∠a＝∠3（已證）
∴∠a+ ∠c＝180°（等量代換）
3、在△abc中，ad⊥bc，若∠c＝2∠b．試比較線段bd與ac+cd的大小．
簡析由於ad⊥bc，所以可在bd上擷取de＝dc，
於是可得△ade≌△adc（sas），所以ae＝ac，∠aed＝∠c，
又∠c＝2∠b，所以∠aed＝2∠b，而∠aed＝∠b+∠bae，
即∠b＝∠bae，所以be＝ae＝ac，所以bd＝be+de＝ae+de＝ac+cd．
說明利用三角形高的性質，在幾何解題時，可以高線為對稱軸構造全等三角形求解．
4、設點p為等邊三角形abc內任一點，試比較線段pa與pb+pc的大小．
簡析由於△abc是等邊三角形，所以可以將△abp繞點a旋轉60°到△acp′的位置，鏈結pp′，則△acp′≌△abp（sas），所以ap′＝ap，cp′＝bp，△app′是等邊三角形，即pp′＝pa，在△cpp′中，因為pp′＜pc+p′c，所以pa＜pb+pc．
說明由於圖形旋轉的前後，只是位置發生了變化，而形狀和大小都沒有改變，所以對於等邊三角形、正方形等特殊的圖形我們可以利用旋轉的方法構造全等三角形來解題．
5、△abc中，ab＝ac，e是ab上任意一點，延長ac到f，連線ef交bc於m，且em＝fm試說明線段be與cf相等的理由．
簡析由於be與cf的位置較散，故可考慮將線段cf平移到ed，所以過點e作 ed∥cf，則∠edb＝∠acb，∠edm＝∠fcm，由於em＝fm，∠emd＝∠fmc，所以△emd≌△fmc（aas），所以ed＝cf，又因為ab＝ac，所以∠b＝∠acb，即∠b＝∠edb，所以eb＝ed，所以be＝cf．
說明這裡通過輔助線將較散的結論相對集中，使求解的難度降低．
1、如圖，已知△abc中，ad是∠bac的角平分線，ab=ac+cd，求證：∠c=2∠b
法一：證明：在ab上擷取ae，使ae=ac，鏈結de。
∵ ad是∠bac的角平分線（已知）
∴∠1=∠2（角平分線定義）
在△aed和△acd中
∵ ae=ac（已知）
∠1=∠2（已證）
ad=ad（公共邊）
∴△aed≌△acd（
∴ ∠c＝∠3（全等三角形的對應角相等)
ed=cd（全等三角形的對應邊相等）
又∵ ab=ac+cd=ae+eb（已知）
∴eb=dc=ed（等量代換）
∴∠b=∠4（等邊對等角）
∵ ∠3= ∠ b+∠4= 2∠b（三角形的乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角和）
∴∠c=2∠b（等量代換）
法二：延長ac到f，使cf=cd，鏈結df。
∵ ad是∠bac的角平分線（已知）
∴∠1=∠2（角平分線定義）
∵ ab=ac+cd，cf=cd（已知）
∴ ab=ac+cf=af（等量代換）
在△abd和△afd中
∵ ab=af（已證） ∠1=∠2（已證） ad=ad（公共邊）
∴△abd≌△afd（
∴ ∠f＝∠b（全等三角形的對應角相等）
∵ cf=cd（已知）
∴∠b=∠3（等邊對等角）
∵ ∠acb= 2∠f（三角形的乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角和）
∴∠acb=2∠b（等量代換）
2、如圖，已知直線mn∥pq，且ae平分∠ban、be平分∠qba，dc是過e的任意線段，交mn於點d，交pq於點c。求證：ad+ab=bc。
法一：證明：延長ae，交直線pq於點f。
法二：延長ba到點g，使得ag=ad，鏈結eg。 法三：延長ba到點g，使得ag=ad，鏈結eg。
3、已知：如圖在rt△abc中，∠bac=90°，ae⊥bc， bd是∠abc的角平分線， gf∥bc ，求證：ad=fc。
證明：過d作dh⊥bc，垂足為h。
全等三角形
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