一、教材要求 2
1、學習目標： 2
2、重點、難點： 2
3、考點分析： 2
4、知識點睛： 2
二、找相等邊的方法 3
1、利用等角對等邊 3
2、利用公共邊相等 3
3、利用等量代換 4
4、利用三角形中線定理，或者等邊三角形 4
5、利用三角形角平分線定理 5
6、旋轉平移性質，角度不變，邊長不變 5
三、找相等角的方法 6
1、利用平行直線性質 6
2、巧用公共角 6
3、利用等邊對等角 7
4、利用對頂角相等 7
5、利用等量代換關係找出角相等 7
6、結合旋轉性質，即旋轉圖形角度不變，邊長不變 8
四、常見輔助線的做法 9
1、找全等三角形的方法： 9
2、三角形中常見輔助線的作法： 9
3、常見輔助線的作法有以下幾種： 9
一、教材要求
1、學習目標：
三角形全等找邊相等的方法總結；
三角形全等找角相等的方法技巧；
歸納、掌握三角形中的常見輔助線；
2、重點、難點：
全等三角形相等邊和相等角尋找思路；
全等三角形的常見輔助線的新增方法。
掌握全等三角形的輔助線的新增方法並提高解決實際問題的能力。
3、考點分析：
全等三角形是初中數學中的重要內容之一，是今後學習其他知識的基礎。判斷三角形全等的公理有sas、asa、aas、sss和hl，如果所給條件充足，則可直接根據相應的公理證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據已知的條件結合相應的公理進行分析，先推導出所缺的條件然後再證明。一些較難的證明題要構造合適的全等三角形，把條件相對集中起來，再進行等量代換，就可以化難為易了。
4、知識點睛：
全等三角形的性質：對應角相等，對應邊相等，對應邊上的中線相等，對應邊上的高相等，對應角的角平分線相等，面積相等．
尋找對應邊和對應角，常用到以下方法：
(1)全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊．
(2)全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角．
(3)有公共邊的，公共邊常是對應邊．
(4)有公共角的，公共角常是對應角．
(5)有對頂角的，對頂角常是對應角．
(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應邊(或對應角)，一對最短邊(或最小角)是對應邊(或對應角)．
要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應的元素是關鍵．
全等三角形的判定方法：
(1) 邊角邊定理(sas)：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等．
(2) 角邊角定理(asa)：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等．
(3) 邊邊邊定理(sss)：三邊對應相等的兩個三角形全等．
(4) 角角邊定理(aas)：兩個角和其中乙個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．
(5) 斜邊、直角邊定理(hl)：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．
全等三角形的應用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會新增輔助線．
拓展關鍵點：能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關係和大小關係．而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎．
二、找相等邊的方法
1、利用等角對等邊
（注意：必須在同乙個三角形中才能考慮）
例1、如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證：ab=cd
2、利用公共邊相等
（若果要證明的兩個全等三角形有兩個相同的對應點，那麼可麼馬上得出它們具有公共邊）
例1、ab=ac，db=dc，f是ad的延長線上的一點。求證：bf=cf
練習、已知：如圖所示，ab＝ad，bc＝dc，e、f分別是dc、bc的中點，求證：ae＝af。
如圖，在四邊形abcd中，e是ac上的一點，∠1=∠2，∠3=∠4，求證: ∠5=∠6
3、利用等量代換
（即ab+公共邊=de+公共邊，那麼ab=de)
例1如圖：ab=cd，ae=df，ce=fb。求證：af=de。
練習、已知：點a、f、e、c在同一條直線上， af＝ce，be∥df，be＝df．求證：△abe≌△cdf．
已知ab∥de，bc∥ef，d，c在af上，且ad＝cf，求證：△abc≌△def．
4、利用三角形中線定理，或者等邊三角形
（三角形一條中線將三角形一邊平分為相等的兩條線段）
例1．如圖：ab=ac，me⊥ab，mf⊥ac，垂足分別為e、f，me=mf。求證：mb=mc
練習、如圖所示，已知ae⊥ab，af⊥ac，ae=ab，af=ac。求證：（1）ec=bf；（2）ec⊥bf
5、利用三角形角平分線定理
（三角形角平分線上的點到角兩邊的距離相等
注意1、必須是角平分線上的點
2、必須是點到直線的距離，垂直距離）
例1、如圖，在δabc中，d是邊bc上一點，ad平分∠bac，de垂直ab,dc垂直ac,鏈結de，已知de=2cm，bd=3cm，求線段bc的長。
練習、已知：如圖所示，bd為∠abc的平分線，ab=bc，點p在bd上，pm⊥ad於m，pn⊥cd於n，判斷pm與pn的關係．
6、旋轉平移性質，角度不變，邊長不變
例1．如圖，把一張矩形的紙abcd沿對角線bd摺疊，使點c落在點e處，be與ad交於點f．
（1）求證：△abf≌△edf；
（2）若將摺疊的圖形恢復原狀，點f與bc邊上的點m正好重合，鏈結dm，試判斷四邊形bmdf的形狀，並說明理由．
三、找相等角的方法
1、利用平行直線性質
兩直線平行的性質定理：1. 兩直線平行，同位角相等
2. 兩直線平行，內錯角相等
例1.如圖所示，直線ad、be相交於點c，ac=dc，bc=ec.求證：ab=de
已知：如圖所示，a、b、c、d在同一直線上，ad＝bc，ae＝bf，ce＝df，試說明：（1）df∥ce；（2）de＝cf．
2、巧用公共角
要點：在證兩三角形全等時首先看兩個三角形是不是有公共交點，如果有公共交點，在看他們是否存在公共角
例1.如圖所示，d在ab上，e在ac上，ab=ac, ∠b=∠c.
求證：ad=ae
已知：如圖,ad＝ae,ab＝ac,bd、ce相交於o. 求證：od＝oe．
3、利用等邊對等角
要點：注意相等的兩條邊一定要在同乙個三角形內才能利用等邊對等角
例1.在△abc中，ab=ac，ad是三角形的中線.求證：△abd≌△acd
4、利用對頂角相等
例1、已知：四邊形abcd中, ac、bd交於o點, ao=oc , ba⊥ac , dc⊥ac．垂足分別為a , c．求證：ad=bc
已知：如圖，在ab、ac上各取一點，e、d，使ae=ad，鏈結bd，ce，bd與ce交於o，鏈結ao，∠1=∠2，
求證：∠b=∠c
5、利用等量代換關係找出角相等
（1），則可以得出
例1. 已知：如圖13－4，ae=ac， ad=ab，∠eac=∠dab，求證：△ead≌△cab．
已知:如圖,ab=ac,ad=ae,∠bac=∠dae. 求證:bd=ce
已知:如圖,∠1=∠2,be=cf,ac=de,e、c在直線bf上．求證:∠a=∠d
（2）常用的在直角三角形中找出角相等的條件
例1、 如圖，△abc中，∠bac=90度，ab=ac，bd是∠abc的平分線，bd的延長線垂直於過c點的直線於e，直線ce交ba的延長線於f．求證：bd=2ce．
△abc中,∠acb=90°,ac=bc,ae是bc邊上的中線，過c作cf⊥ae, 垂足為f,過b作bd⊥bc交cf的延長線於d.
求證:(1)ae=cd;(2)若ac=12cm,求bd的長.
6、結合旋轉性質，即旋轉圖形角度不變，邊長不變
例1．如圖，把一張矩形的紙abcd沿對角線bd摺疊，使點c落在點e處，be與ad交於點f．
（1）求證：△abf≌△edf；
（2）若將摺疊的圖形恢復原狀，點f與bc邊上的點m正好重合，鏈結dm，試判斷四邊形bmdf的形狀，並說明理由．
四、常見輔助線的做法
人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鑽研，找出規律憑經驗
1、找全等三角形的方法：
（1）可以從結論出發，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；
（2）可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；
（3）可從條件和結論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；
（4）若上述方法均不可行，可考慮新增輔助線，構造全等三角形。
2、三角形中常見輔助線的作法：
①延長中線構造全等三角形；
②利用翻摺，構造全等三角形；
③引平行線構造全等三角形；
④作連線構造等腰三角形。
3、常見輔助線的作法有以下幾種：
（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用「三線合一」的性質解題，思維模式是全等變換中的「對折」。
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