高二下學期尖子生競賽考試數學（理）試題
一． 選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知集合，集合，則( )
a. b. c. d.
2. 若，則z的共軛複數的虛部為（ ）
a .i b.-i c.1 d.-1
3.某一批花生種子，若每1粒發芽的概率為，則播下3粒種子恰有2粒發芽的概率為（ ）
a. b. c. d.
4.雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線離心率為（ ）
a. b.2 c. d.3
5.設等差數列的前n項和為，若，則( )
a. 9 b. c.2 d.
6.已知函式滿足，其影象與直線y=0的某兩個交點的橫座標分別為、,的最小值為，則（ ）
a . b. c. d.
8.已知o為座標原點，點a（1,0），若點m（x,y）為平面區域內的乙個動點，則的最小值為( )
a.3 b. c. d.
9.已知三個互不重合的平面且 ，給出下列命題：①則②則
③若則④若則
其中正確命題的個數為（ ）
a.1 b.2 c.3 d.4
10.定義在r上的偶函式f(x)滿足：對任意的,有，則當n∈n﹡時，有（ ）
a.<< b.<<
c.<< d.<<
11、斜率為2的直線l 經過拋物線的焦點f，且交拋物線與a、b兩點，若ab的中點到拋物線準線的距離1，則p的值為（ ）
a.1 b. c. d.
12.若定義在r上的函式f(x)的導函式為，且滿足，
則與的大小關係為（ ）
a、< b、=
c、> d、不能確定
第ⅱ卷（非選擇題共90分）
本卷包括必考題和選考題兩部分.第13~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22~24題為選考題，考生根據要求作答。
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上）
13.的展開式中含的項的係數為________
15.投兩枚均勻的骰子，已知點數不同，則至少有乙個是6點的概率為______
16.已知函式圖象上任意一點處的切線的斜率都小於1，則實數a的取值範圍是______
三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答題應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17.（本小題滿分12分）
設△abc的內角a、b、c所對的邊分別為a、b、c，且
（1）求角a的大小 （2）若，求△abc的周長l的取值範圍。
18.（本小題滿分12分）
已知四稜錐p-abcd，底面abcd為矩形，側稜pa⊥平面abcd，其中bc=2ab=2pa=6，m、n為側稜pc上的兩個三等分點
（1）求證：an∥平面 mbd （2）求異面直線an與pd所成角的余弦值
（3）求二面角m-bd-c的余弦值。
19.某**體育版塊足球欄目組發起了「射手的連續進球與射手
在場上的區域位置有關係」的調查活動，在所有參與調查的人中，
持「有關係」「無關係」「不知道」態度的人數如表所示：
（ⅰ）在所有參與調查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個人，已知從持有關係態度的人中抽取45人，求n的值
（ⅱ）在持「不知道」態度的人中，用分層抽樣的方法抽取10人看作乙個總體。①從這10人中選取3人，求至少一人在40歲以下的概率②從這10人中人選取3人，若設40歲以下的人數為x，求x的分布列和數學期望。
20. （本小題滿分12分）
設橢圓c:的離心率，右焦點到直線1的距離，o為座標原點
（1）求橢圓c的方程
（2）過點o作兩條互相垂直的射線，與橢圓c分別交於a、b兩點，證明點o到直線ab的距離為定值，並求弦ab長度的最小值。
21. （本小題滿分12分）
設函式在內有極值
（1）求實數的取值範圍
（2）若求證:
請考生在第22~24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。
22．（本小題滿分10分）
如圖⊙o的半徑ob垂直於直徑ac，m為ao上一點，bm的延長線交⊙o於點n，過點n的切線交ca的延長線於p
（ⅰ）求證：
（ⅱ）若⊙o的半徑為，oa=om,求mn的長
23. （本小題滿分10分）
已知曲線c的極座標方程是，以極點為平面直角座標系的原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角座標系，直線l的引數方程是（t是引數）
（ⅰ）將曲線c的極座標方程和直線l引數方程轉化為普通方程
（ⅱ）若直線l與曲線c相交於m、n兩點，且，求實數m的值
24. （本小題滿分10分）
設全集（1）解關於x的不等式
（2）記a為(1)中不等式的解集，集合，若恰有3個元素，求的取值範圍。
2013—2014學年度下學期省五校高二尖子生競賽
數學試題答案（理科）
三．解答題
17.解2分）
4分）6分）由正弦定理得
8分）10分）
即∴△abc的周長l的取值範圍為 （12分）
18.解：（ⅰ）證明：鏈結ac交bd於o，鏈結om，
∵底面abcd為矩形，∴o為ac中點，
∵m、n為側稜pc的三等分點，∴cm=mn，
∴om∥an, ∵平面mbd，an平面mbd
∴an∥平面mbd4分）
（ⅱ）如圖所示，以a為原點，建立空間直角座標系a-xyz,
則a（0,0,0），b（3，0,0）, c(3,6,0),d(0,6,0)
p(0,0,3),m(2,4,1),n(1,2,2)
6分）∴異面直線an與pd所成的角的余弦值為 （8分）
（3）∵側稜pa⊥底面abcd
∴平面bcd的乙個法向量為
設平面mbd的法向量為
並且，令y=1,得x=2,z=-2
∴平面mbd的乙個法向量為10分）
由圖知二面角是銳角
∴二面角的余弦值為12分）
19. （ⅰ）由題意，得
∴n=1002分）
（ⅱ）設所選取的人中有m人在40歲以下
則，解得m=44分)
①記「至少一人在40歲以下」為事件a
則6分）
②x的可能取值為0,1,2,3
10分）
∴x的分布列為
12分）
20.（ⅰ）由得，即
由右焦點到直線的距離為
得，解得，
所以橢圓c的方程為4分）
（ⅱ）設a b
直線ab的方程為y=kx+m與橢圓聯立消去y得
6分）∵oa⊥ob,
即∵oa⊥ob，∴
當且僅當oa=ob時取「=」
由得10分）
即弦的長度最小值是12分）
21.解：（ⅰ）01時，
由在內有解，令，
＝1不妨設，則，因，所以，解得5分）
證明：由或，由或，得在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增。由，得，由，得，所以，因為，所以
9分）記
則,在上單調遞增，
所以故12分）
22.解：（ⅰ）鏈結on，則on⊥pn，且△obn為等腰三角形，
則∠obn=∠onb，∵∠pmn=∠omb=900-∠obn，∠pnm=900-∠onb
∴∠pmn=∠pnm, ∴pm=pn3分)
由條件，根據切割線定理，有
所以5分）
（ⅱ）om=2，在rt△bom中，
延長bo交⊙o於點d，連線dn
由條件易知△bom∽△bnd，於是
即，得bn=68分）
所以mn=bn-bm=6-4=210分）
23.解：（ⅰ）曲線c的普通方程為 （2分）
直線l的普通方程為x-y-m=04分)
（ⅱ）因為曲線c6分）
所以，圓心到直線的距離是
8分）所以m=0或m=410分)
此時原不等式的解集為 （5分）
（ⅱ）（6分）
∵恰有3個元素，∴，
7分）∵恰有3個元素
∴或或9分）
解得：所以的取值範圍為10分）
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