本節主要內容是兩個、三個或n個（n∈n+）正數的算術平均數不小於它的幾何平均數，也就是
對於一般正整數n的平均不等式，我們將在本節的附錄裡給出證明．
a類例題
例1 證明：對任意實數a>1,b>1， 有
分析：由對稱性，容易算出當a=b=2時等號成立，此時
證明： [
即同理兩同向不等式相加得，a=b=2時等號成立．
說明：不等式中什麼時候等號成立，應該看作是一種資訊，有時能幫助我們找到證題的入口．本題對平均不等式用得巧妙、簡捷、富有啟發性．
鏈結：本題可以稍作引申：
當a>1,b>1,c>1時，
例2 已知a2,…, an是n個正數，滿足c=1
求證：（2+ a1）（2+ a2）…（2+ an2023年全國聯賽題)
分析：考慮到已知條件因此如何從（2+ a1）（2+ a2）…（2+ an）過渡到能用已知條件就成關鍵．再注意到2+ a1，2+ a2等都與3比較接近，並且還有相等的可能，因此證法便自然得到．
證明：1+1+ a1
即2+ a1
同理 2+ a2
2+ an
將這n個同向不等式相乘得（2+ a1）（2+ a2）…（2+ an）.，當a1= a2= an時等號成立．
說明：本題證明中將2+ a1拆成1+1+ a1，這種恒等變形（分拆）還有形形色色的「湊」和「配」，在解題時是經常用到的．這些技巧的運用並無固定的程式和章法可套，只能根據題目的特點，因題而異．經驗和洞察力要靠我們不斷地實踐和積累．
鏈結：本題也可以從左邊入手乘開，或將3n表為（2+1）n二項展開都可以獲得成功，過程略顯繁瑣．
例3 設a>b>0，那麼a2+的最小值是_____（2023年全國高中聯賽江蘇賽區初賽）
分析：本題取自課本的乙個習題（人教社版，第二冊（上）），題中有兩個變數a，b，解題時總希望字母愈少愈好，故最好把原式處理成乙個變數問題，再證明它大於或等於乙個常數．在這中間我們又注意到和-b之和為a，因式
解： a2+，因此a2+的最小值是4．
當時取得最小值．
說明：當若干個變數的和為常量或積為常量時，我們就可以考慮用平均值不等式，再說在短短的演算過程中兩次使用了平均值不等式．
鏈結：如果題目變為a>b>0，求a2+的最小值，你會做嗎？
情景再現
1. 設a>b>c，證明
2. 設x1, x2…xn，求證x1+ x2+…+ xn
3. 證明 3，其中a，b，c∈r+
b類例題
例4 已知abc=0，求證
2023年北京市中學生數學競賽高一）
分析：如果通分或去分母也許能行得通，但計算量太大，因此這種情況下往往考慮利用「≤」或「≥」的變形（而不是恒等變形）統一分母．
證明：4a4+b4+c4= 2a4+ a4+ b4+ a4+ c4≥2a4+2a2b2+2a2c2
所以≤同理可得
三式相加得
當a2=b2=c2≠0時上式等號成立．
說明：平均不等式還有一些特殊形式，從中還能推導出另外一些「副產品」，而所有這些在證題中是常常用得到的，例如：
a2+b2≥2ab （a，b∈r）
a+≥2 （a∈r+）
≥2 （ab>0）
a3+b3+c3≥3abc （a，b，c∈r+）
（a，b∈r）
（a，b，c∈r）
此外該題處理分母的方法給我們深刻印象，值得借鑑．
例5 已知a，b，c是正數且abc≤1
試證：分析：不等式的左邊是分式，處理分式的原則一般是能不通分時盡量不通分，能不去分母時盡量不去分母，避開它，繞道走，減小計算量，卻同樣達到目的．改變結構，轉換命題，使得新命題便於用已知條件，便於用平均值不等式．
證明：原題等價於證明
而=因而當a=b=c=1時等號成立．
說明：轉換命題或加強命題是證題的乙個重要手段，也是乙個策略．例5與例4都是分式不等式，都用平均不等式解決問題，但途徑、風格截然不同．
例6 設a，b，c是正實數，且滿足abc＝1，證明
第41屆imo）
分析：不等式左邊三個括號所代表的數有可能為負數（或零），因此，不能直接用平均不等式．但仔細觀察、計算發現三個括號最多只能有乙個不是正數．因此，應先討論．此外，即使全正，用三個正數的算術平均，推導也難以進行．故應該用兩個正數的算術平均不小於相應的幾何平均．
證法一：
1°，，三個式的值如果乙個不為正（即為零或負），另兩個為非負，不等式顯然成立．
2°以上三個式的值最多有乙個不為正數，證明如下．假設有兩個不正，不妨設
（相加）2ab≤0這不可能，故三個式子的值最少兩個為正．
3°如三個數全為正
＝a2b
同理三式相乘得2
因此.當a=b=c=1時等號成立．綜上原不等式成立.
證法二：令a=，b=，c= (x，y，z∈r+)
代入後原不等式化為要證 （x-y+z）(y-z+x)(z-x+y)≤xyz.
說明：兩種政法殊途同歸.第二種證法告訴我們，如果能把乙個新問題轉化為乙個我曾經解決過的問題，那麼新問題也就得解.
鏈結：本題可推廣為n個任意正整數，a，b，c∈r+，abc=1，那麼
情景再現
4. 證明對所有正實數a，b，c有
5. 設a，b，c為正實數，求的最小值.
第三屆中國女子數學奧林匹克）
c類例題
例7 x，y，z∈r，求u=的最大值.
分析：u的值可正，可負也可為零.因此最大值肯定為正值.xy,2yz都可以通過不等式建立與x2+y2,y2+z2的聯絡.
解：引入待定正的常數
xy+2yz≤
令解此方程組得
這樣便有xy+2yz
．umax=，當（x≠0）時取得最大值.
說明：我們也可以從判別式入手，同樣可以求得u的最大值.解法如下：
最大值應為正值，因此u >0.
原式化為uz2-2yz+(ux2+uy2-xy)=0.將此式看作是關於z的方程，該方程必有解．故
△＝．即 ．將此式看作是關於ｘ的不等式，該不等式必定有解，故△＝．u取正值時原式中ｙ≠0，於是得
．也就是umax=．
比較兩種解法，後者顯得自然流暢，而前者把待定係數法應用到不等式中使人感到耳目一新．
鏈結：本題解法為我們解決多元函式的最值提供了新的方法．
例8 a，b為正實數，ｘ∈（０，），求的最小值．
分析：這是一道含有三角函式的題．因此解題過程一定會用上三角公式，經驗告訴我們如果直接不好求，則可轉而求其平方的最值．
解：令原式為f(x)，則[f(x)]2=
a2+b2+a2cot2x+2abtanx+2abcotx+b2tan2x
a2+b2+(a2cot2x+abtanx+abtanx)+(b2tan2x+abcotx+abcotx)
當tanx．ab＝a2cotx，也就是tanx＝時取得最小值．
鏈結：本題做法很多，可以用柯西不等式來證，也可以用求導數的方法求得結果，其過程都不很長．本題有明顯的幾何背景：
如圖點p位於第一象限，過p引直線交x軸正方向與ａ，交ｙ軸正方向與ｂ，求線段ａｂ的最小值．
令∠abo=x,容易算得｜pb｜=，｜pa｜=，則｜ab｜=+，n是任意正整數，還有相應的不等式+，這個不等式的證明也不很困難，只要用上n個正數的平均值定理即可，這個不等式證完．例8就可以看作是它的乙個特例．
例9 設ｕ，ｖ，ｗ為正實數，滿足條件，試求ｕ＋ｖ＋ｗ的最小值第三屆中國女子數學奧林匹克）
分析：從改造已知條件入手，是ｖ與ｗ的幾何平均，很容易想到，因此有．也即
這個條件從形式上更接近於ｕ＋ｖ＋ｗ．
解：由於，因此由已知條件可得
又（ｕ＋ｖ＋ｗ）＝
（ｕ＋ｖ＋ｗ）
另一方面，顯然ｕ＝ｖ＝ｗ＝滿足題中條件，因此ｕ＋ｖ＋ｗ的最小值為．
說明：本題實質是據乙個已知不等式，去證明另乙個不等式，其中的過程就是乙個簡單的乘法公式和平均值不等式的應用．
例10 n為任意正整數，求證
分析：原不等式等價於證明．該式左邊可看作是某n＋１個正數的算術平均．如右邊能寫成相應的幾何平均，則問題得證．
證明：考慮n＋１個正數，１，由平均不等式
即 說明：證題的關鍵是命題的改造和巧妙的「配」和「湊」，有針對性的「配」、「湊」能使已知條件和相關定理得到最合理的運用．同時，它也使得條件和結論的內在聯絡顯現出來．因此這種技能和技巧值得我們很好地學習和用心去體會．
從原題形式看不出它與平均值不等式有什麼直接聯絡，這需要我們對題目要進行進一步的挖掘，並且要增強運用平均不等式的意識．
鏈結：從數列的觀點看，該不等式表明數列｛｝是乙個單調遞增數列．在高等數學裡還進一步證明它是有界數列，，ｅ是與同樣活躍的乙個超越數．
例10 的證法很多，相比之下用平均值不等式的證明可說是最為自然和簡捷．
情景再現
6.ｘ＞０，求證：
7. 設ｘ，y，z，w是不全為０的實數，求的最大值．
習題1. 已知ｘ，y，z∈r+，且ｘyz（ｘ+y+z）=1，證明（ｘ+y）（y+ z），並指出何時等號成立.
2. n>2，求證：.
3. 設數列{}滿足a1=1，an+1an=n+1 (n為任意正整數)，求證：．
4. 設a，a1，b，b1均為正實數，，求證．
5. a，b，c∈，求證：．
6. ，且，求證：．
7. a，b，c∈，１）證明
2）證明
3）證明 （2023年莫斯科數學競賽）
8. 設正實數ｘ，y滿足，求證：．（2023年女子數學奧林匹克）
9. 設a，b，ｘ，y都是正數，並且，求證．
10. 設正實數ｘ，y，z滿足ｘ+y+z=ｘyz，求的最小值．
2023年中國國家集訓隊測試題）
11. 設實數a，b滿足ab >0，證明：，並求等號成立的條件．
一般地，證明：對任意實數a，b均有，並求等號成立的條件第十四屆愛爾其數學奧林匹克）
12. 0 3 平均值不等式 知識精要 四個定理及推廣 定理 對任意實數，有，此式當且僅當時取 號 定理 對任意兩個正數，有，此式當且僅當時取 號 定理 對任意三個正數，有 此式當且僅當時取 號 定理 對任意三個正數，有 此式當且僅當時取 號 推廣 一般地，對 個正數，有 此式當且僅當時取 號 更深層的理解定理... 第44講排序不等式與琴生不等式 本節主要內容有排序不等式 琴生不等式 冪平均不等式 切比雪夫不等式及應用 排序不等式 又稱排序定理 給定兩組實數a1，a2，an b1，b2，bn 如果a1 a2 an b1 b2 bn 那麼a1bn a2bn 1 anb1 反序和 a1 a2 an 亂序和 a1b1... 變式 1.設x 0,y 0且x y.比較與的大小。2.若.求證 3.已知 1 x y 1 1 x y 3求3x y的範圍.4.比較和的大小 5.設，比較與的大小 3.不等式的解集是 變式 1.關於的不等式的解集是，則關於的不等式的解集是 2.已知不等式的解集是，對於有以下結論其中正確的有3.不等式的...不等式選講4 5 3平均值不等式
第44講排序不等式教案
第2講不等式