基礎鞏固題組
一、填空題
1．(2013·江蘇卷改編)已知a≥b＞0，m＝2a3－b3，n＝2ab2－a2b，則m、n的大
小關係為________．
解析 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)
＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因為a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，
從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.
答案 m≥n
2．已知x＋y＝1，那麼2x2＋3y2的最小值是________．
解析由柯西不等式(2x2＋3y2)·
≥2＝(x＋y)2＝1，
∴2x2＋3y2≥，當且僅當2x＝3y，即x＝，y＝時，等號成立．
答案 3．若直線3x＋4y＝2，則x2＋y2的最小值為________，最小值點為________．
解析由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，
得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.
當且僅當＝時等號成立，為求最小值點，
需解方程組∴
因此，當x＝，y＝時，x2＋y2取得最小值，最小值為，最小值點為.
答案4．若a，b均為正實數，且a≠b，m＝＋，n＝＋，則m、n的大小
關係為________．
解析 ∵a≠b，∴＋＞2，＋＞2，
∴＋＋＋＞2＋2，
∴＋＞＋.即m＞n.
答案 m ＞n
5．設a、b、c是正實數，且a＋b＋c＝9，則＋＋的最小值為________．
解析 ∵(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]
≥2＝18.
∴＋＋≥2.∴＋＋的最小值為2.
答案 2
6．已知a，b，c為正實數，且a＋2b＋3c＝9，則＋＋的最大值為________．
解析 ＋＋＝ ＋＋
≤＝，故最大值為.
答案 7．(2013·陝西卷)已知a，b，m，n均為正數，且a＋b＝1，mn＝2，則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為________．
解析由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時「＝」成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(·＋)2＝mn(a＋b)2＝2.
答案 2
8．已知x2＋2y2＋3z2＝，則3x＋2y＋z的最小值為________．
解析 ∵(x2＋2y2＋3z2)
≥(3x＋y·＋z·)2＝(3x＋2y＋z)2，
當且僅當x＝3y＝9z時，等號成立．
∴(3x＋2y＋z)2≤12，即－2≤3x＋2y＋z≤2.
當x＝－，y＝－，z＝－時，
3x＋2y＋z＝－2，∴最小值為－2.
答案 －2
9．已知a，b，c∈r＋，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最大值為________．
解析法一利用基本不等式
(＋＋)2＝(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋2·＋2·＋2·≤(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋[(3a＋1)＋(3b＋1)]＋[(3b＋1)＋(3c＋1)]＋[(3a＋1)＋(3c＋1)]
＝3[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]＝18，
∴＋＋≤3，
∴(＋＋)max＝3.
法二利用柯西不等式
∵(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2
∴(＋＋)2≤3[3(a＋b＋c)＋3]．
又∵a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤18，
∴＋＋≤3.
當且僅當＝＝時，等號成立．
∴(＋＋)max＝3.
答案 3
二、解答題
10．設a，b，c為正數，且a＋b＋c＝1，求證：＋＋≥9.
證明法一 ∵a，b，c均為正數，∴1＝a＋b＋c≥
3.又＋＋≥3＝，
∴·1≥3·3＝9.
即＋＋≥9.
法二構造兩組數：， ， ；，，.
因此根據柯西不等式有
[()2＋()2＋()2]
≥2.即(a＋b＋c)≥32＝9.
(當且僅當＝＝，即a＝b＝c時取等號)
又a＋b＋c＝1，所以＋＋≥9.
11．設不等式|2x－1|＜1的解集為m.
(1)求集合m；
(2)若a，b∈m，試比較ab＋1與a＋b的大小．
解 (1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，
解得0＜x＜1.
所以m＝．
(2)由(1)和a，b∈m可知0＜a＜1,0＜b＜1，
所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.
故ab＋1＞a＋b.
12．(2012·福建卷)已知函式f(x)＝m－|x－2|，m∈r，且f(x＋2)≥0的解集
為[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c大於0，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9.
(1)解 ∵f(x＋2)＝m－|x|，
∴f(x＋2)≥0等價於|x|≤m.
由|x|≤m有解，得m≥0且其解集為．
又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1.
(2)證明由(1)知＋＋＝1，且a，b，c大於0，
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
當且僅當a＝2b＝3c＝時，等號成立．因此a＋2b＋3c≥9.
第2講不等式
變式 1.設x 0,y 0且x y.比較與的大小。2.若.求證 3.已知 1 x y 1 1 x y 3求3x y的範圍.4.比較和的大小 5.設，比較與的大小 3.不等式的解集是 變式 1.關於的不等式的解集是，則關於的不等式的解集是 2.已知不等式的解集是，對於有以下結論其中正確的有3.不等式的...
第41講不等式證明文
一 教學目標 掌握不等式證明基本方法 比較法 綜合法和分析法二 教學重點 基本方法的應用。理科也要了解其他不等式證法。三 知識回顧 1 不等式證明的基本方法 比較法 綜合法 分析法 理科 反證法 換元法 判別式法 放縮法。2 基本不等式 若，則 當且僅當時等號成立 若，則 當且僅當時等號成立 若，則...
不等式的證明 2
第二課時 教學目標 1 進一步熟練掌握比較法證明不等式 2 了解作商比較法證明不等式 3 提高學生解題時應變能力.教學重點比較法的應用 教學難點常見解題技巧 教學方法啟發引導式 教學活動 一 匯入新課 教師活動 教師打出字幕 複習提問 請三位同學回答問題，教師點評 學生活動 思考問題，回答 字幕 1...