3 演繹推理
（1）從出發，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理.簡言之，演繹推理是由到的推理.
（2）三段論是演繹推理的一般模式，它包括：①大前提小前提結論
（二）直接證明與間接證明
1．直接證明
（1）綜合法：從題設的出發，運用一系列有關作為推理的依據，逐步推演而得到要證明的結論，這種證明方法叫做綜合法.綜合法的推理方向是由到表現為綜合法的解題步驟用符號表示是
特點:「由因導果」，因此綜合法又叫法．
（2）分析法：分析法的推理方向是由到論證中步步尋求使其成立的如此逐步歸結到已知的條件和已經成立的事實，從而使命題得證，表現為分析法的證題步驟用符號表示為
特點：「執果索因」，因此分析法又叫法或法.
2．間接證明
假設原命題的結論不成立，經過正確的推理，最後得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立．這樣的證明方法叫反證法．反證法是一種間接證明的方法．
（1）反證法的解題步驟推演過程中引出矛盾
（2）反證法的理論依據是：原命題為真，則它的為真，在直接證明有困難時，就可以轉化為證明它的成立.
（3）反證法證明乙個命題常採用以下步驟：
①假定命題的結論不成立.
②進行推理，在推理中出現下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾.
③由於上述矛盾的出現，可以斷言，原來的假定「結論不成立」是錯誤的.
④肯定原來命題的結論是正確的.
即「反設——歸謬——結論」.
（4）一般情況下，有如下幾種情況的求證題目常常採用反證法：
第一，問題共有n種情況，現要證明其中的一種情況成立時，可以想到用反證法把其它的
n-1種情況都排除，從而肯定這種情況成立；
第二，命題是以否定命題的形式敘述的；
第三，命題用「至少」、「至多」的字樣敘述的；
第四，當命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說明，而其逆命題又是非常容易證明的.
（三）數學歸納法
1．數學歸納法
對於某些與正整數n有關的命題常常採用下面的方法來證明它的正確性：先證明當n取第乙個值n0時命題成立；然後假設當n＝k(k∈n*，k≥n0)時命題成立，證明當________時命題也成立，這種證明方法就叫做________．
2．用數學歸納法證明乙個與正整數(或自然數)有關的命題的步驟
(1)(歸納奠基)當n取第乙個值時，證明命題成立；
(2)(歸納遞推)假設當時結論正確，證明當________時結論也正確．
由(1)，(2)可知，命題對於從n0開始的所有正整數n都正確．
3．特點注意
用數學歸納法來證明與正整數有關的命題時，要注意：________不可少，________要用到，________莫忘掉．
四、題型歸納
（一）歸納推理
例1平面內的１條直線把平面分成2部分，2條相交直線把平面分成4部分，3條相交但不共點的直線把平面分成7部分，則n條彼此相交而無三條共點的直線，可把平面分成多少部分？
分析：可通過畫圖當直線條數n為3，4，5時，分別計算出它們將平面分成的區域數sn，從中發現規律，再歸納出結論.
解析：設平面被n條直線分成sn部分，則
當n=1時，s1 =1+1=2；
當n=2時，s2 =1+1+2=4；
當n=3時，s3 =1+1+2+3=7；
當n=4時，s4 =1+1+2+3+4=11．
據此猜想，得sn=1+ =.
點評：本題是由部分到整體的推理，先把部分的情況都寫出來，然後尋找規律，概括出整體的情況．
（二）模擬推理
例2（2023年微山模擬）在平面幾何中，對於rt△abc，設ab=c,ac=b,bc=a，則
（1）a2+b2=c2；
（2）cos2a+cos2b=1；
（3）rt△abc的外接圓半徑為r
把上面的結論模擬到空間寫出相類似的結論.
分析：我們在空間中選取3個面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的模擬物件，考慮面積，二面角，及外接球的半徑即可得.
解析：（1）設3個兩兩垂直的側面的面積分別為s1,s2,s3，底面面積為s，則s12+s22+s32=s2.
(2)設3個兩兩垂直的側面與底面所成的角分別為α,β,γ，則
cos2α+cos2β+cos2γ=1.
(3)設3個兩兩垂直的側面形成的側稜長分別為a,b,c，則這個四面體的外接球的半徑為r=.
（三）演繹推理
演繹推理是證明數學問題的基本推理形式，因此在高考中經常出現，三段論推理是演繹推理的一種重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真實並且推理形式正確的前提下，其結論就必然真實.
例3證明：函式f(x)=-x2+2x在［1，+∞)上是減函式.
（四）用綜合法證明數學命題
例4已知pa⊥⊙o所在的平面，ab是⊙o的直徑，c是圓周上不同於a,b的任一點，過a點作ae⊥pc於點e，如右圖所示.求證：ae⊥平面pbc.
（五）用分析法證明數學命題
例5若a>0，求證：
（六）用反證法證明數學命題
例6已知：a3+b3=2,求證：a+b≤2.
分析：本題直接證明命題較困難，宜用反證法.
證明：假設a+b>2,則b>2-a .
於是a3+b3>a3+(2-a)3=8-12a+6a2
=6(a-1)2+2≥2 .
與已知相矛盾，所以 a+b≤2.
（七）數學歸納法
ⅰ歸納、猜想、證明
例7在各項為正的數列中，數列的前n項和sn滿足sn
(1)求a1，a2，a3.
(2)由(1)猜想數列的通項公式，並且用數學歸納法證明你的猜想．
ⅱ用數學歸納法證明恒等式
例8用數學歸納法證明
ⅲ用數學歸納法證明整除問題
例9用數學歸納法證明：對於任意自然數n，數11n＋2＋122n＋1是133的倍數．
ⅳ用數學歸納法證明不等式問題
例10設函式．數列滿足，．
（ⅰ）證明：函式在區間是增函式；
（ⅱ）證明：；
（ⅲ）設，整數．證明：．
解：（i）當0f′(x)=1-lnx-1=-lnx>0
所以函式f(x)在區間（0,1）是增函式，
（ii）當0x
又由（i）有f(x)在x=1處連續知，
當0因此，當0下面用數學歸納法證明： 0(i)由0(ii)假設n=k時，不等式②成立，即0則由①可得0故當n=k+1時，不等式②也成立
綜合(i)(ii)證得：an(iii)由（ii）知，逐項遞增，故若存在正整數m≤k,使得am≥b,則ak+1>am≥b
否則，若amamlnam≤a1lnamak+1=ak-aklnak
=ak-1-ak-1lnak-1-aklnak
……=a1-amlnam
由③知amlnam於是ak+1>a1+k|a1lnb|
≥a1+(b-a1)=b
高考數學複習推理與證明推理與證明
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推理與證明複習試卷
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