數學科學案序號 007 高二年級班教師王德鴻學生
學習目的：能利用歸納和模擬等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單推理。了解分析法、綜合法、反證法的思考過程、特點。
重點難點：進一步感受和體會常用的思維模式和證明方法，形成對數學的完整認識。
學習過程
知識點回顧：
1、合情推理；結論_______正確.
2、演繹推理：由________到________.前提和推理形式正確，則結論_________正確.
「三段論」是演繹推理的一般模式：大前提；小前提；結論——根據一般原理，對特殊情況作出的判斷。
3、數學歸納法：數學歸納法的基本思想：
（1） 即先驗證使結論有意義的最小正整數，如果當時，命題成立；
（2） 再假設時，命題成立（這時命是否成立不是確定的），根據這個假設，如能推出當n=k+1時，命題也成立，那麼就可以遞推出對所有不小於的正整數命題都成立。
由此可知，用數學歸納法證明乙個與正整數有關的命題時，要分兩個步驟，且兩個步驟缺一不可。
例題分析：
例1、已知函式f(n)(n∈n*)，滿足條件：①f(2)＝2，②f(xy)＝f(x)·f(y)，③f(n)∈n*，④當x>y時，有f(x)>f(y)．
(1)求f(1)，f(3)的值；(2)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式；
(3)證明你猜想的f(n)的解析式的正確性．
練習：1、已知，…若，（均為正實數），則模擬以上等式，可推測的值
2、觀察：；； ；….對於任意正實數，試寫出使成立的乙個條件可以是
3、將楊輝三角中的奇數換成1，偶數換成0，得到如圖1所示的0-1三角數表．從上往下數，第1次全行的數都為1的是第1行，第2次全行的數都為1的是第3行，…，第次全行的數都為1的是第行；第61行中1的個數是 ．
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
圖1例2、已知是內任意一點，鏈結，，並延長交對邊於，，，則，這是平面幾何中的乙個命題，其證明方法常採用「面積法」：．運用模擬猜想，對於空間四面體存在什麼類似的命題？並用「體積法」證明．
練習：1、在平面直角座標系中，直線一般方程為，圓心在的圓的一般方程為；則類似的，在空間直角座標系中，平面的一般方程為球心在的球的一般方程為
2、在△中，若∠=90°，，則△的外接圓的半徑，把上面的結論推廣到空間，寫出相類似的結論
例3、下面幾種推理過程是演繹推理的是
a．兩條直線平行，同旁內角互補，由此若∠a，∠b是兩條平行直線被第三條直線所截得的同旁內角，則∠a＋∠b＝180°
b．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人數超過50人
c．由平面三角形的性質，推測空間四面體的性質
d．在數列中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此歸納出的通項公式
練習： 由①正方形的對角線相等；②平行四邊形的對角線相等；③正方形是平行四邊形，根據「三段論」推理出乙個結論，則這個結論是
(a) 正方形的對角線相等 (b) 平行四邊形的對角線相等 (c) 正方形是平行四邊形 (d)其它
課後作業：
1、模擬平面內正三角形的「三邊相等，三內角相等」的性質，可推知正四面體的下列性質，你認為比較恰當的（)
①各稜長相等，同一頂點上的任兩條稜的夾角相等；②各個面是全等的正三角形，相鄰的兩個面所成的二面角相等；③各個面都是全等的正三角形，同一頂點的任兩條稜的夾角相等；④各稜長相等，相鄰兩個面所成的二面角相等． abcd．③
2、用數學歸納法證明,從到,左邊需要增乘的代數式為( )
a. bcd.
3、在中，不等式成立；在四邊形abcd中，不等式成立；在五邊形abcde中，不等式成立.猜想，在n邊形中，有
4、若數列{}，(n∈n)是等差數列,則有數列b= (n∈n)也是等差數列，模擬上述性質，相應地：若數列是等比數列,且c＞0(n∈n),則有dn∈n)也是等比數列。
5、依次有下列等式：，按此規律下去，第8個等式為
6、在等差數列中，若，則有等式成立，模擬上述性質，相應地：在等比數列中，若，則有等式成立.
7、「是菱形的對角線，互相垂直且平分.」補充以上推理的大前提是
8、有下列各式：1＋＋>1,1＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，……則按此規律可猜想此類不等式的一般形式為
9、若射線om，on上分別存在點m1，m2與點n1，n2，則＝·；如圖，若不在同一平面內的射線op，oq和or上分別存在點p1，p2，點q1，q2和點r1，r2，則類似的結論是什麼？這個結論正確嗎？說明理由．
10、在△abc中，射影定理可以表示為a＝bcosc＋ccosb，其中a，b，c依次為角a、b、c的對邊，模擬以上定理，給出空間四面體中在四面體p－abc中，s1、s2、s3、s分別表示△pab、△pbc、△pca、△abc的面積，α、β、γ依次表示面pab、面pbc、面pca與底面abc所成角的大小，將射影定理模擬推理到三維空間．,猜想空間四面體的類似性質,並證明你的猜想
11、美籍匈牙利數學家波利亞（georgepolya,1887~1985）曾說過：「模擬是乙個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴於平面幾何中的模擬問題.」確實，模擬是科學發現的靈魂，是數學發現的重要工具之一.
例如，在中，，分別是角對邊，由勾股定理可得.
（1）由平面內直角三角形的勾股定理，我們可模擬猜想得出空間中四面體的乙個性質：
在四面體中，三個側面sab、sbc、sac兩兩相互垂直，則
（2）試證明你所猜想的結論是否正確.
12、已知數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列；是公差為的等差數列；是公差為的等差數列（）.
（1）若，求；
（2）試寫出關於的關係式，並求的取值範圍；
（3）續寫已知數列，使得是公差為的等差數列，……，依次類推，把已知數列推廣為無窮數列. 提出同（2）類似的問題（（2）應當作為特例），並進行研究，你能得到什麼樣的結論？
高考數學複習推理與證明推理與證明
推理與證明 一 合情推理與演繹推理 1 了解合情推理的含義，能利用歸納和模擬等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用。2 了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單推理。3 了解合情推理和演繹推理之間的聯絡和差異。二 直接證明與間接證明 1 了解直接證明的兩種基本...
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推理與證明複習試卷
一 選擇題 1 下列說法中正確的是 a 合情推理就是正確的推理 b 歸納推理是從一般到特殊的推理過程 c 合情推理就是歸納推理 d 模擬推理是從特殊到特殊的推理過程 2 用反證法證明命題 如果 時，假設的內容應是 a b c d 3 凡自然數都是整數 4是自然數 所以，4是整數 以上三段論推理 a ...