224100 江蘇省鹽城市大豐區南陽中學潘錦明
推理與證明是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式．主要掌握歸納推理與模擬推理及三段論式推理的模式與思維過程，掌握常用的證明方法，包括綜合法、分析法、反證法、數學歸納法等，並會加以應用．
一．知識網路結構
二．複習知識要求
1．了解合情推理的含義，能利用歸納和模擬等方法進行簡單的推理；了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單的推理．
2．了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點；了解反證法是間接證明的一種基本方法及其思考過程和特點．
3．理解數學歸納法的理論依據與相關步驟，並會用來證明相關問題．
4．在複習時，關鍵是把握：能利用合情推理中的歸納、模擬等方法和演繹推理的基本模式進行簡單的推理；會用分析法、綜合法、反證法、數學歸納法證明一些簡單的問題．
三．典型考點剖析
考點1．歸納推理問題
歸納推理是由某類事物的部分物件具有某些特徵，推出該類事物的全部物件都具有這些特徵的推理，或者是由個別事實概括出一般結論的推理，是由部分到整體，由特殊到一般的推理，它在數學結論及其證明思路的發現中、科學發明中都起著非常重要的作用．在高考中，經常在一些填空題中涉及此類問題．
例1．將全體正整數排成三角形數陣：
根據以上的排列規律，第n（n≥3）行從左向右第3個數是______．
分析：要求第n（n≥3）行從左向右第3個數，那麼先要分析前n－1行的正整數個數，再結合排列位置關係來求解對應的數．
解析：前n－1行共有正整數1+2+…+（n－1）個，即個，因此第n行第3個數是全體正整數中第+3個，即為，故答案為：．
點評：本小題主要考查歸納推理和等差數列求和公式等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力．求解關鍵是如何根據圖表資訊求出行列式中對應項的通項公式．直接應用了推理與證明中的歸納推理來解決對應的問題．
考點2．模擬推理問題
模擬推理是根據兩類不同事物間的某些相似點，推測出一類事物具有另一類事物相似的性質的推理過程．模擬推理簡稱模擬法，是一種重要的數學方法，是人類探求、發現規律的重要思維方法之一．通過模擬，可以為提出新的猜想提供一種好的方法，也可以為找到一些複雜問題的的解決方案提供一種新的思維．
例2．設等差數列的前n項和為sn，則s4，s8－s4，s12－s8，s16－s12成等差數列．模擬以上結論有：設等比數列的前n項積為tn，則t4成等比數列．
分析：通過條件中等差數列的對應的連續4項的和為等差數列的性質加以模擬，結合模擬結論中的關係加以確定相應的等比數列中的相應的積的性質．
解析：由已知，在等差數列中有s4，s8－s4，s12－s8，s16－s12成等差數列，即對應的連續4項的和為等差數列，
通過模擬，結合模擬的結論，則在等比數列中有t4，，，成等比數列，
故分別填：，．
點評：通過推理中的模擬問題，關鍵考查推理分析能力與模擬的思維應用．綜合等差數列的和與等比數列的積之間的性質加以模擬，是高考中的一大新亮點，從原來的等差數列的有關的前n項和的模擬到等比數列的有關的前n項積問題．綜合應用了模擬推理、數列的相關知識等來解決對應的問題．
考點3．演繹推理問題
演繹推理是根據已知的事實和正確的結論，按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程．演繹推理是形式化程度比較高的必然推理，在數學發現活動中，它具有類似於「實驗」的功能，它不僅為合情推理提供了前提，而且可以對猜想作出「判斷」和證明，從而為調控數學的探索活動提供依據．
例3．看下面一段發現數學公式的過程，指出各自運用了哪種推理方式．
公式：s2（n）=12+22+32+…+n2．
（1）首先列表計算觀察：
運用________推理；
（2）從上表中的資料沒有明顯的發現，於是聯想到正整數之和的公式s1（n）=1+2+3+…+n=n（n+1），二者能否有關係呢？
運用________推理；
（3）再列表計算、比對：
運用________推理；
（4）從上表中資料沒有看到明顯的規律，再進一步列表計算：
運用________推理；
（5）從上表發現了規律： =，於是猜想：s2（n）=n（n+1）（2n+1）．
運用________推理．
分析：綜合運用了合情推理和演繹推理，最後發現對應的數學結論．回答每一步的推理方式時都要緊緊抓住三種推理（歸納推理、模擬推理、演繹推理）的定義、形式及其對應的特點．
解析：（1）通過直接計算得到對應的數字，用的是演繹推理；（2）通過比較，用的是模擬推理；（3）通過直接計算得到對應的數字，用的也是演繹推理；（4）通過直接計算得到對應的數字，用的還是演繹推理；（5）通過分析規律，加以總結，用的是歸納推理．
點評：（1）數學發現活動是乙個探索創造的過程．這是乙個不斷提出猜想、驗證猜想的過程．合情推理和演繹推理相輔相成，相互作用，共同推動著發現活動的過程；
（2）合情推理是富於創造性的必然推理，在數學發現活動中，它為演繹推理確定了目標和方向，具有提出猜想、提供思路、發現結論的作用；
（3）演繹推理是形式化程度比較高的必然推理，在數學發現活動中，它具有類似於「實驗」的功能，它不僅為合情推理提供了前提，而且可以對猜想作出「判斷」和證明，從而為調控數學的探索活動提供依據．
考點4．直接證明問題
直接證明是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的一種證明方法．常用的直接證明的方法包括綜合法、分析法，在數學證明時，常先用分析法理清已知與求證之間的聯絡，再用綜合法寫出來．在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解題過程．在高考的一些解答題的證明中，經常用到直接證明來處理與解決問題．
例4．已知a>b>c且a+b+c=0，求證： 分析：要證明的不等式中兩邊都有根號，可以通過對正數兩邊同時平方，再結合條件加以變換，結合提取相應的公因式與條件關係加以證明．
證明：要證即證b2+a（a+b）<3a2，即證（a－b）（2a+b）>0，即證（a－b）（a－c）>0，
∵a>b>c，∴（a－b）（a－c）>0成立，∴原不等式成立．
點評：直接觀察比較難得以證明，通過所以證明的兩項均為正數的不等式的平方來分析，達到轉化，從而證得所要證明的不等式．
考點5．反證法問題
所謂反證法，即從命題結論的反面出發，引出矛盾，從而證明原命題成立．在有些命題的證明中,就可以從結論的否定入手，推出條件的否定或結合條件推出相悖的結論,從而說明原結論的成立．在高考中也經常碰到此類問題．
例5．如圖，已知a、b、c是同一平面的三條直線，a⊥c，b與c不垂直，求證：a與b必相交．
分析：用直接法難以下手，但其結論的反面非常明顯，用反證法證明比較方便．
證明：（方法一）假設a與b不相交，則a//b，所以∠1=∠2，
由於b與c不垂直，則∠290，即∠190，
所以a不是c的垂線，這與已知條件矛盾，
所以a與b必相交．
（方法二）假設a與b不相交，則a//b，所以∠1=∠2，
因為a⊥c，則∠1=90，即∠2=90，所以b⊥c，這與已知b與c不垂直矛盾，
所以a與b必相交．
（方法三）假設a與b不相交，則a//b，所以∠1=∠2，
又b與c不垂直，則∠290，即∠190，
又因為a⊥c，則∠1=90，這裡就得出∠190與∠1=90自相矛盾，
所以a與b必相交．
點評：上面的三種證法推出的結論與不同的情況相矛盾，可見導致的矛盾是在推理過程中發現的，而不是推理之前就知道或預先設計的．
四、命題熱點**
推理與證明以其獨有的技巧和方法，在數學學習中具有特殊的地位和作用．推理是數學中最基本的思維過程，也是人們學習和生活經常使用的思維方式．在解決問題的過程中，推理具有猜測和發現結論，探索和提供思路的重要作用，有利於創新意識的培養．在考試中，一般不單獨命題，而是與證明相結合，先猜測出結果，再證明結論的正確性．
證明題是數學考試中考查學生推理能力和邏輯思維能力的主要形式，綜合法和分析法各有所長，在解決問題時，綜合運用這兩種方法，效果會更好，比如立體幾何證明問題．反證法雖然不是考試的熱點，但作為一種思想方法在解決問題時常常有意想不到的妙處．數學歸納法一般用來解決與正整數有關的數學問題．
可以預見，有關推理與證明的問題將會以考查能力為主，既可以以小題形式出現，也可以以解答題的形式．在新的問題情境中命題將是趨勢．
命題與證明複習導航
安徽李慶社 一 知識點回顧 1.命題和證明 命題 叫做命題 其中正確的命題稱為 命題，錯誤的命題稱為 命題 命題是由 和 兩部分組成 2.證明 1 證明命題的一般步驟是 根據題意，畫出圖形 根據題設 結論，結合圖形，寫出已知 求證 經過分析，找出由已知推出結論的途徑，寫出證明過程，並註明依據 2 證...
高考數學複習推理與證明推理與證明
推理與證明 一 合情推理與演繹推理 1 了解合情推理的含義，能利用歸納和模擬等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用。2 了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，並能運用它們進行一些簡單推理。3 了解合情推理和演繹推理之間的聯絡和差異。二 直接證明與間接證明 1 了解直接證明的兩種基本...
推理與證明複習
一 鞏固練習 1 數列2，5，11，20，x，47，中的x 2 給出下列三個模擬結論 ab n anbn與 a b n模擬，則有 a b n an bn loga xy logax logay與sin 模擬，則有sin sin sin a b 2 a2 2ab b2與模擬，則有 其中結論正確的序號是...