安徽李慶社
一、知識點回顧
1.命題和證明
命題＿＿叫做命題．其中正確的命題稱為＿命題，錯誤的命題稱為＿命題．命題是由＿＿和＿＿兩部分組成．
2.證明
(1)證明命題的一般步驟是：
①根據題意，畫出圖形；
②根據題設、結論，結合圖形，寫出已知、求證；
③經過分析，找出由已知推出結論的途徑，寫出證明過程，並註明依據．
（2）證明乙個假命題的方法是舉乙個反例，證明乙個命題是真命題，可用分析法、綜合法或分析綜合法．
二、思想方法
1.轉化的思想方法
例1 如圖，已知點e、f分別在正方形abcd的邊bc、cd上，並且∠daf=∠eaf．
求證：be+df=ae．
【分析】本例用補短法把線段的和差轉化為證線段相等，也可以用截長法把線段的和差轉化為證線段相等．
【證明】作∠bag=∠daf，ag與cb的延長線交於點g．可證
△adf≌△abg，進而可證
∠eag=∠afd，又∠afd=∠g，
∴∠eag=∠g，
∴gb+be=ae，
故be+df=ae．
2.分類思想方法
例2 （2023年雲南中考題）已知等腰三角形的兩邊長是4和9，則這個三角形的周長是＿＿＿＿＿。
【解析】 這是一道開放性試題，應根據三角形的邊的關係確定出等腰三角形的第三邊的長，作如下分類：
當腰長為4時，此時有4＋4＜9，矛盾；
當腰長為9時，即底邊長為4，則等腰三角形的周長為9＋9＋4＝22.故應填22.
【點評】 注意三角形有關結論開放性和思想方法的應用，它是考題中常見的題型之一.主要考查運用三角形的邊的關係及分析問題和解決問題的能力.
3.化歸思想方法
例3 已知：如圖，ab＝dc，ad＝bc，
求證：∠a＝∠c.
【分析】鏈結bd，將問題化歸為三角形全等問題來解決.
解答過程請同學們自行完成.
4.建模思想
例4 要測量河岸相對的兩點a、b的距離，可以在ab的垂線bf
上取兩點c、d，使cd＝bc，再定出bf 的垂線de，使a、c、e
在一條直線上，這時測得的de的
長就是ab的長.
【分析】本題通過構建兩個指教三角形全等解決.
在△abc和△edc中，bc=cd,∠acb=∠ecd,∠b=∠d=90,從而△abc≌△edc，所以de=ab.
本章滲透的思想方法還有特殊與一般、模擬思想、平移與變換思想、邏輯推理思想等.
三、易錯點歸納
1.隨意新增命題的題設
【例1】 已知ab∥cd，
∠1=∠2(如圖3)。
求證：be∥cf。
【錯證】：∵ab∥cd(已知)
∴∠abc=∠bcd(兩直線平行，內錯角相等)。
∵∠1=∠3，∠2=∠4，且∠1=∠2
∴∠3=∠4
∴be∥cf(內錯角相等，兩直線平行)
【剖析與指導】因題中並沒有指明be、cf分別是∠abc、∠bcd的平分線，而錯誤證明中卻想當然地把它作為已知條件來使用，即結論與題設不清，這是初學者經常犯的毛病，必須引以為鑑。
【證明】∵ab∥cd(已知)
∴∠abc=∠bcd(兩直線平行，內錯角相等)。
∵∠1=∠2，
∴∠abc-∠1=∠bcd-∠2，即∠3=∠4。
∴eb∥cf(內錯角相等，兩直線平行)
2.文字語言與「圖形語言」轉換出現障礙
【例2】對命題：「同角的補角相等」．畫圖，並寫出已知、求證．(不證明)
[誤解] 如圖1
已知：∠aob與∠cod是同角，
∠boe是∠aob的補角，
∠dof是∠cod的補角．
求證：∠boe=∠dof．
[正解]如圖2
已知：∠cpd是∠aob的補角，∠eqf是∠aob的補角．
求證：∠cpd=∠eqf．
[剖析與指導] 把文字命題「翻譯」成符號語言表示，即用已知、求證表示出來，一般分為兩個步驟完成：(1)按照題意，畫出圖形；(2)分清命題的題設和結論，然後結合圖形，用符號語言寫成已知、求證．在「已知」項中寫出題設，在「求證」項中寫出結論．
[誤解]中的錯誤主要是在畫圖時把「同角」理解成等角，並且把乙個角的補角畫成鄰補角，變成了與原命題意義不同的「新」命題了．
3.證明時推理依據不準確
【例3】 已知：∠1+ ∠2=180°
求證：∠3=∠4。
【錯證】：∵∠1+∠2=180°(已知)；
∴l1∥l2(兩直線平行，同旁內角互補)
∴∠3=∠4(同位角相等，兩直線平行)
【剖析與指導】錯證推理依據不對，其實質是混淆了平行線的判定與性質。
正確的證明方法如下：
∵∠1+∠2=180°(已知)；
∴l1∥l2(同旁內角互補，兩直線平行)
∴∠3=∠4(兩直線平行，同位角相等)
四、中考熱點透視
縱觀近幾年來全國各地的中考試題，涉及本章內容的常見題型有：填空題、選擇題、作圖題、計算題、證明題．作為基礎知識在綜合題中也時有出現．主要考查的內容有真命題和假命題的判定與證明等．
1.構造命題
例1（2006四川中考題） 已知：如圖ad//bc，點e，f分別為bd上兩點，ae//cf，
要使△bcf≌△dae，還需新增乙個條件（只需乙個條件）是
解析:本題是已知命題的結論，要求新增使命題成立的乙個條件，具有一定的**性和開放性。
由於已知條件ad//bc，ae//cf，可推出∠ade=∠cbf, ∠aed=cbf,故可新增的新增是ad=bc或de=bf或ae=cf.
例2（2006攀枝花中考題）如圖，點e在ab上，ac=ad，請你新增乙個條件，使圖中存在全等三角形，並給予證明。
所添條件為
你得到的一對全等三角形是
解析：可選擇
等條件中的乙個。
可得到證明過程請同學們自行完成.
2.證明命題
例3.如圖（1）所示，ac=bd，ab=dc，求證：.
圖（1）
分析1：要證，可以觀察與所在的△abe與△dce是否全等。由已知判定條件不足，若將及已知ac、bd放在同一對三角形中問題可獲解決，這一對三角形是：
△abd與△dca。故要鏈結ad，再證。
證法1：鏈結ad（如圖（2）所示）
在△abd和△dca中圖（2）
分析2：分析本題條件ab、ac在△abc中，dc、bd在△dcb中，而ac=bd，ab=dc，故可鏈結bc，證，再運用角的和差證.
證法2：鏈結bc
在點評 （1）本題第1種分析方法是從條件出發結合已知得到應構造，輔助線是鏈結ad；第2種分析方法是從已知條件入手，發現條件集中在兩個三角形△abc及△dcb.鏈結bc，證，這兩種分析方法在今後證題中經常運用.
五、方法技巧總結
1.探索解題途徑的兩種基本方法
綜合法是從已知條件出發探索解題途徑的方法，分析法則是從結論出發，用倒推的方法來尋求證明思路的方法．它們是探索解題途徑的兩種基本的方法．
例1 （2006山東初中畢業生學業考試題）已知：如圖，rt△abc≌rt△ade，∠abc＝∠ade=900，試以圖中標有字母的點為端點，鏈結兩條線段，如果你所鏈結的兩條線段滿足相等、垂直或平行關係中的一種，那麼請你把它寫出來並證明．
【分析】開放性題目是近幾年中考的熱點，幾乎成為必考題型.從大處來看，常見的開放題主要有條件開放型、結論開放型、策略開放性和綜合開放型四大類.今年在傳統的開放性題目的基礎上，增大了題目的不確定性，開放程度有所加強，從而給考生提供了更加廣闊的思維空間.
本題是**結論性開放題和解題方法的開放性.
【解】第一種：鏈結cd、be，得：cd=be.
∵△abc≌△ade，∴ad=ab，ac=ae，
∠cab=∠ead，
∴∠cad=∠eab，
∴△abe≌△adc.
∴cd=be.
第二種：鏈結db、ce得：db∥ce.
∵△abc≌△ade，∴ad=ab，∠abc=∠ade.
∴∠adb=∠abd，∴∠bdf=∠fbd，
同理：∠fce=∠fec，
∴∠fce=∠dbf. ∴db∥ce
第三種：鏈結db、af；得af⊥bd.
∵△abc≌△ade，∴ad=ab，∠abc=∠ade=90°，
又af=af，∴△adf≌△abf，
∴∠daf=∠baf，
∴af⊥bd.
第四種：鏈結ce、af；得af⊥ce，
∵△abc≌△ade，∴ad=ab，ac=ae，
∠abc=∠ade=90°.
又af=af，∴△adf≌△abf，
∴∠daf=∠baf ，∴∠caf=∠eaf，
∴af⊥bd.
2.作輔助線的技巧
有些幾何題目條件比較分散，條件與結論難於聯絡，這時往往需要巧妙地添輔助線，將條件加以集中，便於利用．
例2 如圖1，已知ab∥cd，求證：∠bed＝∠b＋∠d．
分析：題中有平行條件，由此聯想到平行線的性質，想到它所對應
的圖形．經對照發現，圖中沒有截ab、cd的線，所以我們要添截線．
方法1：延長be交cd於f，如圖2所示．
方法2：延長de交ab於f，如圖3所示．
方法3：鏈結bd，如圖4所示．
方法4：過e點任作一線交ab於m、交cd於n，如圖5所示．
許多幾何題都是轉化為我們熟悉的、簡單的問題加以解決的．在這個轉化過程中，也常需要作輔助線．如例中，如果將結論轉化為∠bed-∠b＝∠d，這樣我們又得到：
方法5：以eb為一邊在∠bed內部作∠bef＝∠b，或過e點作ef∥ab，如圖6所示．
3.構造的技巧
例3 如圖，已知δabc中，ab＝ac，bd=cf．求證：de＝ef．
【分析】這個題目要證明的結論是de=ef．如圖所示，這就出現了相等
兩線段在一組對頂角的兩邊，而且成一直線，在這種情況下，模擬如下三角形全等，
構造如下列基本圖形.
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224100 江蘇省鹽城市大豐區南陽中學潘錦明 推理與證明是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式 主要掌握歸納推理與模擬推理及三段論式推理的模式與思維過程，掌握常用的證明方法，包括綜合法 分析法 反證法 數學歸納法等，並會加以應用 一 知識網路結構 二 複習知識要求 1 了解合...
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