§24.3命題與證明（一）
初三數學
主講教師：李綠江
1.定義、命題與定理
觀察下面的圖形，找出其中的平行四邊形．
要解決這個問題，首先要弄清楚怎樣的圖形才能稱為平行四邊形．你還記得以前學過的知識嗎？
「有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形」這句話說明了平行四邊形的含義以及區別於其他圖形的特徵．一般地，能明確指出概念含義或特徵的句子，稱為定義.
還可以舉出如下的一些定義： （1） 有乙個角是直角的三角形，叫做直角三角形． （2） 兩個角的和等於90°，就說這兩個角互為餘角. （3） 在同一平面內，兩條不相交的直線叫做平行線．
(4) 平分乙個角的射線叫這個角的平分線.
定義必須是嚴密的．一般避免使用含糊不清的術語，比如「一些」、「大概」、「差不多」等不能在定義中出現．正確的定義能把被定義的事物或名詞與其他的事物或名詞區別開來．
思考1試判斷下列句子是否正確．
如果兩個角是對頂角，那麼這兩個角相等；
三角形的內角和是180°；
同位角相等；
平行四邊形的對角線相等；
菱形的對角線相互垂直；
垂直於同一直線的兩直線平行．
根據已有的知識可以判斷出句子（1）、（2）、（5）是正確的，句子（3）、（4）、(6)
是錯誤的．（其中（6）若有在同一平面內，則正確）上述6個句子都叫做命題. 我們把判斷一件事情的句子叫命題．
正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題．故句子（1）、（2）、（5）真命題，句子（3）、（4）、（6）是假命題
思考2試判斷下列語句是否是命題．
如果,那麼點c是ab的中點；
連線a、b兩點；
若，則，；
三點確定乙個圓；
點p在直線ab上.
解： 如果,那麼點c是的中點； 是命題
連線a、b兩點不是命題
若，則，； 是命題
三點確定乙個圓是命題
點p在直線ab上是命題
數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，並把它們作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做公理．例如，我們通過探索，已經知道下列命題是正確的：
⑴ 一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等；
⑵ 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行；
⑶ 如果兩個三角形的兩邊及其夾角分別對應相等，那麼這兩個三角形全等；
⑷ 如果兩個三角形的兩角及其夾邊分別對應相等，那麼這兩個三角形全等；
⑸ 如果兩個三角形的三邊分別對應相等，那麼這兩個三角形全等；
⑹全等三角形的對應邊、對應角分別相等．
我們把這些作為不需要證明的基本事實，即作為公理．(請同學們記住這6條公理)
有些命題可以從公理或其他真命題出發，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，並且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做定理．
例如，運用公理「兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等」，可以得到定理：「兩角及其一角的對邊分別對應相等的兩個三角形全等．」 定理的作用不僅在於它揭示了客觀事物的本質屬性，而且可以作為進一步確認其他命題真假的根據．
在數學中，許多命題是由題設（或條件）和結論兩部分組成的．題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．這種命題常可寫成「如果……那麼……」的形式．其中，用「如果」開始的部分是題設，用「那麼」開始的部分是結論．
例1 把下列命題改寫成「如果……那麼……」的形式，並分別指出命題的題設與結論．
⑴ 在乙個三角形中，等角對等邊；
⑵ 三角形的內角和等於180度；
⑶ 直角三角形的兩銳角互餘；⑷ 垂直於同一直線的兩直線平行；
⑸ 鄰補角的平分線互相垂直；
⑹ 對頂角的平分線在一條直線上；
⑺ 角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等；
⑻ 同角的餘角相等；
⑼ 等角的補角相等；
⑽ 同弧所對的圓周角相等.
解：⑴ 在乙個三角形中，等角對等邊； 這個命題可以寫成：
「如果在乙個三角形中有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等.」
這裡的題設是「在乙個三角形中有兩個角相等」，結論是「這兩個角所對的邊也相等」.
⑵ 三角形的內角和等於180度；這個命題可以寫成：
「如果有三個角是同乙個三角形的三個內角，那麼這三個角的和等於180度.」
這裡的題設是「有三個角是同乙個三角形的三個內角」，結論是「這三個角的和等於180度」.
⑶ 直角三角形的兩銳角互餘；這個命題可以寫成：
「如果兩個角是同乙個直角三角形的兩個銳角，那麼這兩個角的和等於90度.」
這裡的題設是「有兩個角是同乙個直角三角形的兩個銳角」，結論是「這兩個角的和等於90度」.
⑷ 垂直於同一直線的兩直線平行；這個命題可以寫成：
「如果兩條直線都垂直於第三條直線，那麼這兩條直線互相平行.」
這裡的題設是「兩條直線都垂直於第三條直線」，結論是「這兩條直線互相平行」.
⑸ 鄰補角的平分線互相垂直；這個命題可以寫成：
「如果兩條射線分別是兩個鄰補角的角平分線，那麼這兩條射線互相垂直.」
這裡的題設是「兩條射線分別是兩個鄰補角的角平分線」，結論是「這兩條射線互相垂直」 .
⑹ 對頂角的平分線在一條直線上；這個命題可以寫成：
「如果兩條射線分別是一組對頂角的角平分線，那麼這兩條射線在同一條直線上.」
這裡的題設是「兩條射線分別是一組對頂角的角平分線」，結論是「這兩條射線在同一條直線上」.
⑺ 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；這個命題可以寫成：
「如果乙個點在乙個角的平分線上，那麼這個點到這個角的兩邊的距離相等.」
這裡的題設是「有乙個點在乙個角的平分線上」，結論是「這個點到這個角的兩邊的距離相等.」.
⑻ 同角的餘角相等；這個命題可以寫成：
「如果有兩個角是同乙個角的餘角，那麼這兩個角相等.」
這裡的題設是「有兩個角是同乙個角的餘角」，結論是「這兩個角相等」 .
⑼ 等角的補角相等；這個命題可以寫成：
「如果有兩個角分別是兩個相等角的補角，那麼這兩個角相等.」
這裡的題設是「有兩個角分別是兩個相等角的補角」，結論是「這兩個角相等」.
⑽ 同弧所對的圓周角相等. 這個命題可以寫成：
「如果有兩個角是同乙個圓中同一條弧所對的圓周角，那麼這兩個角相等.」
這裡的題設是「有兩個角是同乙個圓中同一條弧所對的圓周角」，結論是「這兩個角相等」.
如果要判斷乙個命題是假命題，那麼我們只要舉出乙個符合命題題設而不符合結論的例子就可以了，這種方法稱為「舉反例」．
用 「舉反例」 的方法判斷下列命題是假命題.
乙個銳角與乙個鈍角的和等於乙個平角
解： 銳角等於30°，鈍角等於120°，但它們的和就不等於180°，從而說明這個命題是假命題．
（2）有兩條邊和乙個角分別對應相等的兩個三角形全等.解：如圖和中，，
滿足有兩條邊和乙個角分別對應相等，但和不全等. 由此說明這個命題是假命題．
再來看下面三個問題：
① 一位同學在鑽研數學題時發現：2＋1＝3，2×3＋1＝7，2×3×5＋1＝31，2×3×5×7＋1＝211．
於是，他根據上面的結果並利用素數表得出結論：
從素數2開始，排在前面的任意多個素數的乘積加1一定也是素數．他的結論正確嗎？
（素數也稱質數是大於1的整數，除了它本身和1以外不能被其他正整數所整除）
*當我們找到.顯然30031不是素數.
所以他的結論不正確.
② 乙個同學在畫圖時發現：如下圖所示，三角形三條邊的垂直平分線的交點都在三角形的內部．於是他得出結論： 任何乙個三角形三條邊的垂直平分線的交點都在三角形的內部．他的結論正確嗎？
*在第23章圓我們已知道三角形三條邊的垂直平分線的交點是三角形的外心，銳角三角形的外心在三角形內，直角三角形的外心在三角形的邊上，鈍角三角形的外心在三角形外. 顯然他的結論也不正確.
③我們曾經通過計算四邊形、五邊形、六邊形、七邊形、八邊形等的內角和，得到乙個結論： n邊形的內角和等於×180°．這個結果可靠嗎？是否有乙個多邊形的內角和不滿足這一規律？
* 由以前學過的知識，我們知道這個結果是正確的.
上面的幾個例子說明： 通過特殊的事例得到的結論可能正確，也可能不正確．因此，通過這種方式得到的結論，還需進一步加以證實．要否定乙個結論，只需舉出乙個反例即可，而要肯定乙個結論，則要經過推理論證.下節課我們將開始系統學習幾何證明.
本節小結：
一．搞清4個概念
① 能明確指出概念含義或特徵的句子，稱為定義.
② 判斷一件事情的句子叫命題．
③人們在長期實踐中總結出來的，並把它們作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做公理．
④ 用邏輯推理的方法判斷為正確的命題叫做定理．
二．習題要求
① 會判斷一句話是否是命題.
② 能將乙個命題改寫成「如果……那麼……」的形式.
③ 會用「舉反例」說明乙個命題是假命題.
④ 能正確區分真命題和假命題.
課堂練習
選擇題：
1．下列語句中，不是命題的是（ ）
兩點之間線段最短b) 直線ab//cd.
鈍角和銳角之差等於直角. (d) 三點確定乙個圓.
2．下列命題中，
⑴兩個角對應相等的兩個三角形相似.
⑵兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補.
⑶如果兩條直線都和第三條直線平行，那麼這兩條直線平行.
⑷兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行. 被作為公理的有( )
(a) 4個 (b) 3個 (c) 2個 (d) 1個
3．下列命題中，有（ ）假命題
⑴ 經過兩點有且只有一條直線. ⑵ 三角形任一外角等於兩個內角的和.
⑶ 面積相等的兩個三角形全等. ⑷ 有兩條邊分別相等的兩個等腰三角形全等.
⑸ 等角的補角相等三邊對應平行的兩個三角形全等.
(a) 5個 (b) 4個 (c) 3個 (d) 2個
4．下列命題中，有（ ）真命題
⑴ 互為補角的兩個角的平分線互相垂直.
⑵ 三角形的三個內角與三個外角的和為540度.
⑶ 有一邊相等其餘兩邊對應平行的兩個三角形全等.
⑷ 有一腰和頂角對應相等的兩個等腰三角形全等.
(a) 4個 (b) 3個 (c) 2個 (d) 1個
5．根據下列命題，畫出圖形並寫出「已知」、「求證」（不必證明）；
命題與證明
24.3 命題與證明 命題與定理 一.判斷題 是命題打 不是命題打 1.作線段。2.兩條直線與第三條直線相交，同位角相等。3.垂線段比斜線段短。4.如果，那麼。5.延長ab到c，使bc ab。二.判斷題 是真命題打 是假命題打 1.凡是直角都相等。2.不相等的角不是對頂角。3.如果，那麼。4.同角的...
命題與證明
2.1 定義 教學目標 1 了解定義是對於乙個概念的特徵性質的描述 2 能正確敘述已學過數學概念的定義 教學重點及難點 弄清定義的含義，能掌握已學過的數學概念的特徵性質 一 學1 閱讀教材p35 36頁，思考並回答下列問題 叫作平行線。叫作平行四邊形。叫作梯形。2 對於乙個概念特徵性質的描述叫作這個...
學案一2 2命題與證明
2.2 命題與證明 1 學習目標 1.了解證明的含義。2 體驗 理解證明的必要性。3 了解證明的表達格式，會按規定格式證明簡單命題 課前自學 預習指要 請同學們認真預習教材p55 p57，展示你的才華,解答下列問題。預習檢測 1.什麼叫做證明？2.在證明乙個命題時，首先要分清命題的和把作為已知的內容...