第44講排序不等式與琴生不等式
本節主要內容有排序不等式、琴生不等式、冪平均不等式、切比雪夫不等式及應用．
排序不等式（又稱排序定理）：給定兩組實數a1，a2，……，an；b1，b2，……，bn．如果a1≤a2≤……≤an；b1≤b2≤……≤bn．那麼a1bn＋a2bn－1＋……＋anb1（反序和）≤a1＋a2＋……＋an（亂序和）≤a1b1＋a2b2＋……＋anbn（同序和），
其中i1，i2，……，in是1，2，……，n的乙個排列．
該不等式所表達的意義是和式在同序和反序時分別取得最大值和最小值．
切比雪夫不等式：設有兩個有序陣列a1≤a2≤……≤an；b1≤b2≤……≤bn．則(a1bn＋a2bn－1＋……＋anb1)≤·≤(a1b1＋a2b2＋……＋anbn)，
其中等號僅當a1＝a2＝……＝an或b1＝b2＝……＝bn時取得．
琴生不等式又稱凸函式不等式，它建立在凸函式的基礎上．
定義設連續函式f(x)的定義域是[a，b] (開區間(a，b)或(－∞，＋∞)上均可)，如果對於區間[a，b]內的任意兩點x1，x2有f()≤[f(x1)＋f(x2)]，則稱f(x)為[a，b]上的下凸函式．如圖(１)
定理一．若f(x)是下凸函式，則對其定義域中的任意幾個點x1，x2，……，xn，恒有f()≤[f(x1)＋f(x2)＋……＋f(xn)]．
定義設連續函式f(x)的定義域是[a，b](開區間(a，b)或(－∞，＋∞)上均可)，如果對於區間[a，b]內的任意兩點x1，x2有f()≥[f(x1)＋f(x2)]，則稱f(x)為[a，b]上的下凸函式．如圖(2)
定理二：若是上凸函式，則對其定義域中的任意個點恒有，容易驗證分別是上的下凸函式。分別是上的上凸函式。定理一和定理二所表達的不等關係，統稱為琴生不等式。
冪平均：
設是任意個正數，我們稱為這一組數的次冪平均，記為（），簡記作。由定義容易得到，可以證明。
冪平均不等式：設是任意個正數。如果，那麼一定有，等號只有當個數全相等時才能成立。例如時， ，顯然是的遞增函式。
我們將在本節的附錄裡對排序不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式分別給出證明。由於冪平均不等式數學背景深，難度大，這裡不再證明，有興趣的讀者可以參閱史濟懷先生著《平均》。
a類例題
例1 求證
證法一：
證法二：在上是下凸函式。據琴生不等式，因此
說明：如原題改為求證，則證法二仍可，證法一則不靈。
例2中求的最大值。
解：考察函式，，對任意，
，所以。因此是上凸函式。據琴生不等式
，當且僅當時取得最大值。
鏈結：用琴生不等式可以輕而易舉得得到一系列三角不等式，例如中， ，。
例3 若，求的最小值。
解：由於是下凸函式（讀者自行證明）。據琴生不等式，即，也就是，當且僅當時達到最小值。
說明：運用琴生不等式證題關鍵在於選去適當的輔助函式。
情景再現
1.中，求的最大值。
2.，若，證明是下凸的；若，證明是上凸的。
3. 用函式的凸函式性質證明平均值不等式：對（）有
b類例題
例4 設都是正數，且，試證
證明：據冪平均不等式，因此有，也就是。
例5 1）若不等式對所有正實數都成立，則的最小值是
2）設都是正數，試證
3）設，且，試證當時有
1）解：據冪平均不等式，因此，故的最小值是。
2）證明： （1），又因此得 （2）， （1）與（2）相乘得，也就是
。仿此，一般地設；都是正數，且，則有。
3）證明：由冪平均不等式
，這樣便有 （1），由於，由柯西不等式（或平均值不等式）易知
，於是得 （2），由不等式（1）（2）得。
我們注意到許多不等式就是該不等式的特例。例如，設都是正數，且，那麼。設都是正數，且，那麼。
例6 已知非負實數滿足，證明
分析：我們想起這樣的一道題。已知為非負實數，，求的最大值和最小值。
這道題的幾何意義是點在單位圓的一段弧上，求點縱、橫座標之和的最值。對比我們做過的題和要做的題，發現其本質是一樣的，只不過問題由平民推到了空間，過去的圓變成了現在的球因而解法完全類似。
證明：由已知，配方可得（這表明點在以為球心，半徑為的球面上），據冪平均不等式，當且僅當時取等號。
又為非負實數，所以，，相加得，解此不等式得，當且僅當時等號成立。綜上便有。
例7 設，且，求證
2023年國家數學集訓隊9人測驗試題）
證明：因為，所以，利用切比雪夫不等式，有
，也即。因此。
說明：排序不等式與切比雪夫不等式有共同之處，它們都有已經排序的兩組實數；都涉及到反序和及同序和。不同的是在排序不等式中沒有每組數的算術平均，而在切比雪夫不等式中卻有，。
正因為有共性，因此它們是相通的，又由於有差異，作為數學工具，它們又有不同的功能和作用。在使用時，我們必須把握住問題的結構特點，選擇最佳的切入點和突破口。
例8 設的三內角所對的邊分別為，其周長為1，求證：
。 分析：由問題的對稱性，不妨設，三角形中大邊對大角，於是有
（這種形式是題目所需要的）。這樣既不改變問題的實質，又增加了已知條件：兩組有序實數，及。這就為應用排序原理創設了很好的情境。
證法一：用排序原理。不妨設，於是有。由排序不等式（同序和大於或等於反序和），也就是，同理，，相加得，不等式兩邊同加，並注意到，就得
證法二：比較法
，因此。
說明：利用排序原理證明其他不等式時，必須製造出兩個合適的有序陣列。
情景再現
4. 1）設都是正數，試證
2）設都是正數，試證
5. 已知是正數，求證
6. 假設是正數的某一排列，證明
7. 設是三角形的三邊長，求證
8. 設，求證：
例9 設為兩兩不等的正整數，求證：對任何正整數，下列不等式成立第20屆imo試題）
證法一：用排序原理。對於任意給定的正整數，將按從小到大順序排列為。因為，據排序原理得，即。又因為為兩兩不等的正整數，所以（），於是，故。
證法二：用平均值不等式。據平均值不等式的變形形式，取，，有，這樣便有，而，故。
證法三：用柯西不等式。據柯西不等式有
，兩邊約去正因式即得。
說明：這題證法很多，除了上述的證法之外還可用比較法、放縮法、增量法、構造法、數學歸納法來證得，讀者不妨一試。
例10 猜測：設，則
證法一：用排序原理。考察兩組實數及，由對稱性，不妨設，由此則得，，由排序原理（順序和不小於亂序和），移項後得
證法二：代換法。令，則得，代入後原不等式化為證明（*），由於，即，同理可證，，三不等式相加便得。
鏈結：由證法一很容易將猜測推廣：設（），記，則
情景再現
9. 設為正數，求證
10. 已知都是正數，求證
習題四a類
1. 設都是正數（），且，求證
2.是給定的正整數（），求單位圓的內接邊形面積的最大值。
3. 設，滿足，證明
4. 設是正數，是正整數，證明
b類5. 記的三邊長為；，求證
6. 已知都非負且，求的最大值。
7. 設，，又是的乙個排列，求證第17屆imo試題）
8. 設是三角形的邊長，求證：
（第24屆imo試題）
c類9. 設與是任意兩組實數，它們滿足條件：（1）
（2）（3）（），為了使不等式成立，那麼數的最小值是多少？
（2023年理科試驗班複試試題）
10. 平面上給定個不同的點，試證：一定可以畫乙個圓，使圓內恰有個點，而其餘個點都在所畫的圓外面。
附錄1. 排序不等式：給定兩組實數；，如果；，那麼（反序和）（亂序和）（同序和），其中是的乙個排列。
證明：對於任意，
，由此得。所以，我們可將中的第一項的因數與對調，和不會減少，同樣可將第二項調為…，依次類推即得，同樣可以證明
。排序不等式的證明反映了調整的思想，通過調整產生變化並逐漸接近結論同排序不等式可以證明好些其他的重要不等式，例如切比雪夫不等式、平均不等式、柯西不等式。
2. 切比雪夫不等式：設有兩個有序陣列；，則
證明：由排序原理有，，
，相加，即，同樣可證
3. 琴生不等式：若是上凸函式，則對其定義域中的任意個點，恒有
證明：用數學歸納法。時，不等式顯然成立。時，由上凸函式的定義不等式成立。假設時命題正確，即。當時，
。這就是說當時，不等式也成立。因此當時不等式總成立。
接下來我們再證明當時（）如果不等式成立，那麼當時不等式也一定成立。
設，令代入得
，也就是
，整理便得
，這就是說當時不等式也一定成立。當時不等式成立（大踏步前進），然後又證明了時成立，必導致時成立（將前面空檔回填），因此對任意正整數不等式都成立。
本節情景再現解答
1.，由冪平均不等式，而，因此有。此式說明函式在上是上凸函式。據琴生不等式，最大值為
2. 設為任意實數，，，因此，故為下凸函式。時同理可證為上凸函式。
3. 容易知道為正實數集上的上凸函式，為任意正實數。據琴生不等式，去對數即得，當時取等號。
4. 1）參考例5中2），有，又，代入即得所證。
2）與1）證法相同
5. 據冪平均不等式
，而，因此
，兩邊平方後即得。
6. 不妨設，則，注意到是的乙個排列，故由排序原理（反序和）
（亂序和），即
7. 不妨設，由排序原理先得，再得以上兩不等式相加便得。
8. 序列與有相同的次序；與有相反次序，而是的乙個排序。所以
，即（1）。同樣
，即（2），（1）+（2）便得所證。本題用平均不等式也可證得。
9. 不妨設，則，，
10. 三次用到排序原理。不妨設，則，故
習題四解答
1. 設，由此可得，由切比雪夫不等式，也就是
2. 如圖，容易證明當圓內接邊形的所有頂點都在某一條直徑的同側時，邊形面積不可能取得最大值。設邊形頂點不在任何一條直徑的同側。令， ，（）。
，由在上是上凸函式，據琴生不等式，，當且僅當正邊形時取得最大值。
3. 由已知，即
，再據冪平均不等式得，於是有
，同理可得關於的同類不等式，五個不等式相加，即得所證。
4. 由於,由冪平均不等式，得，該式表明在上是下凸函式。因此有
5. 注意到是上的上凸函式，從而有
，另外乙個不等式兩邊平方後，成為乙個顯然成立的式子。
6.（）是上凸函式，據琴生不等式
第2講不等式
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第42講平均不等式教案
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第2講不等式的證明
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