第13講基本不等式及其應用
學號姓名
一、學習目標
1.了解基本不等式的證明過程及其幾何解釋.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．
二、重溫教材
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的條件2)等號成立的條件：當且僅當________時取等號．
2．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2a，b∈r)．(2)＋≥____(a，b同號)．
(3)ab≤2 (a，b∈r)．(4)2____.
3．算術平均數與幾何平均數
設a>0，b>0，則a，b的算術平均數為________，幾何平均數為________，
基本不等式可敘述為
4．利用基本不等式求最值問題
已知x>0，y>0，則
(1)如果積xy是定值p，那麼當且僅當________時，x＋y有最____值是________(簡記：積定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值p，那麼當且僅當________時，xy有最____值是_______(簡記：和定積最大)．
三、重點剖析
題型1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2023年高考山東文科卷第14題）已知，且滿足，則xy的最大值為 ____。
【自測】已知x>1，y>1且x y＝10000，則lg xlg y的最大值是
a．4b．2c．1d.
題型2通過簡單的配湊後，利用均值不等式求解最值。
例2：求函式y＝的最大值
【自測】已知關於x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恆成立，則實數a的最小值為______
題型3.和積共存的等式，求解和或積的最值。
例3：（2023年高考重慶理科卷第7題）已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是（ ）
a. 3b. 4cd.
【自測】已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，求xy的最大值
題型4.分式型函式（）求解最值。
例4：若對任意，恆成立，則的取值範圍是
【自測】設x>－1，則函式y＝的最小值是________
題型5.變數位置變化的雙變數條件最值
例》0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值；
【自測】(2011·重慶)已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是( )
ab．4cd．5
題型6.耐克型函式的最值
例6.若x <，求函式y＝4x－2＋的最大值；
【自測】，求的最小值
題型7.利用基本不等式解決實際問題
例7.某單位用2 160萬元購得一塊空地，計畫在該空地上建造一棟至少10層，每層2 000平方公尺的樓房．經測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方公尺的平均建築費用為560＋48x(單位：元)．
(1)寫出樓房平均綜合費用y關於建造層數x的函式關係式；
(2)該樓房應建造多少層時，可使樓房每平方公尺的平均綜合費用最少？最少值是多少？
(注：平均綜合費用＝平均建築費用＋平均購地費用，平均購地費用＝)
【自測】某種生產裝置購買時費用為10萬元，每年的裝置管理費共計9千元，這種生產裝置的維修費各年為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以後以每年2千元的增量逐年遞增，問這種生產裝置最多使用多少年報廢最合算(即使用多少年的年平均費用最少)?
三、歸納提公升
1．利用基本不等式求最值必須滿足一正、二定、三相等三個條件，並且和為定值時，積有最大值，積為定值時，和有最小值．
2．使用基本不等式求最值時，若等號不成立，應改用單調性法．一般地函式y＝ax＋，當a>0，b<0時，函式在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函式；當a<0，b>0時，函式在(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函式；當a>0，b>0時函式在，上是減函式，在，上是增函式；當a<0，b<0時，可作如下變形：y＝－來解決最值問題．
四、專項練習
學號姓名得分
一、選擇題
1．已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，則lg xlg y的最大值是
a．4b．2c．1d.
2．已知函式f(x)＝x，a、b∈(0，＋∞)，a＝f，b＝f()，c＝f，則a、b、c的大小關係是( )
a．a≤b≤cb．a≤c≤b c．b≤c≤ad．c≤b≤a
3．下列函式中，最小值為4的函式是( )
a．y＝x＋ b．y＝sin x＋(04設a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項，則＋的最小值為( )
a．8b．4c．1d.
5.(11·鞍山月考)已知不等式(x＋y)≥9對任意正實數x，y恆成立，則正實數a的最小值為( )
a．2b．4c．6d．8
6．已知a>0，b>0，則＋＋2的最小值是( )
a．2b．2c．4d．5
7．一批貨物隨17列貨車從a市以a km/h的速度勻速直達b市，已知兩地鐵路線長400 km，為了安全，兩列車之間的距離不得小於2 km，那麼這批貨物全部運到b市，最快需要( )
a．6 hb．8 hc．10 hd．12 h
8．(2011·寧波月考)設x，y滿足約束條件，若目標函式z＝ax＋by (a>0，b>0)的最大值為12，則＋的最小值為( )
abcd．4
二、填空題
9．(2010·浙江)若正實數x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是
10．已知，，則p與q的大小關係為_______
11．已知函式的值域為r，則m的取值範圍是_______
12.設，若，，則的最大值為
13．若a＞b＞1，p＝，q＝，r＝），則p、q、r的大小關係是
14．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，當x∈r時，f(x)恒為正值，則k的取值範圍為________．
三、解答題
15．經觀測，某公路段在某時段內的車流量y(千輛/小時)與汽車的平均速度v(千公尺/小時)之間有函式關係y＝(v>0)．
(1)在該時段內，當汽車的平均速度v為多少時車流量y最大？最大車流量為多少？
(2)為保證在該時段內車流量至少為10千輛/小時，則汽車的平均速度應控制在什麼範圍內？
16．某加工廠需定期購買原材料，已知每千克原材料的**為1.5元，每次購買原材料需支付運費600元，每千克原材料每天的保管費用為0.03元，該廠每天需要消耗原材料400千克，每次購買的原材料當天即開始使用(即有400千克不需要保管)．
(1)設該廠每x天購買一次原材料，試寫出每次購買的原材料在x天內總的保管費用y1關於x的函式關係式；
(2)求該廠多少天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費用y最小，並求出這個最小值．
基本不等式及其應用
學號姓名
一、學習目標
1.了解基本不等式的證明過程及其幾何解釋.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．
二、重溫教材
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的條件a>0，b>0
(2)等號成立的條件：當且僅當________時取等號．a＝b
2．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2a，b∈r)．2ab
(2)＋≥____(a，b同號)．2
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