第三十四講基本不等式及其應用
一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題後的括號內．)
1．「a>0且b>0」是「≥」的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件 c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
答案：a
2．設a、b∈r＋，且a＋b＝4，則有( )
ab.＋≥1 c.≥2d.≥
解析：由a，b∈r*，且a＋b＝4得2≤4≤2，≥，又由≤＝，即≤.由此可知，a，c，d都不正確，則只有b正確，故選b.
答案：b
3．設0a．(a－b)2 b．(a＋b)2 c．a2b2 d．a2
解析：∵(1－x＋x)(＋)＝＋＋a2＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.∴選b.
答案：b
4．已知x2＋y2＝a，m2＋n2＝b，且a≠b，則mx＋ny的最大值是( )
a. b. c. d.
分析：由條件x2＋y2＝a，m2＋n2＝b易聯想到三角換元．
解析：令x＝cosα，y＝sinα，α∈[0,2π)，m＝cosβ，n＝sinβ，β∈[0,2π)，
則mx＋ny＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝cos(α－β)．
∵cos(α－β)≤1，∴mx＋ny的最大值為.
答案：a
評析：此題若使用均值不等式，即mx＋ny≤＋＝，會錯選b，因為上述不等式「＝」不能取得．
5．設a>b>c>0，則2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是( )
a．2b．4 c．2 d．5
解析：原式＝a2＋＋＋a2－10ac＋25c2＝a2＋＋(a－5c)2≥a2＋＋0≥4，當且僅當b＝a－b、a＝5c且a2＝，即a＝2b＝5c＝時「＝」都成立，故原式的最小值為4，選b.
答案：b
6．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是( )
a．3 b．4 c. d.
解析：依題意得(x＋1)(2y＋1)＝9，(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，x＋2y≥4，當且僅當x＋1＝2y＋1，即x＝2，y＝1時取等號，故x＋2y的最小值是4，選b.
答案：b
二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題後的橫線上．)
7．在「＋＝1」中的「__」處分別填上乙個自然數，使它們的和最小，並求出其和的最小值．________
分析：.本題條件、結論皆開放，可設所要填寫的兩數分別為x，y，再利用均值定理去探索．
解析：設這兩個自然數分別為x，y，
則有x＋y＝(x＋y)＝13＋＋≥13＋2＝25，
當且僅當＝，且＋＝1，即x＝10，y＝15時等號成立，故分別填10和15，其和的最小值為25.
答案：10 15 25
評析：本題解答的關鍵是將已知中的「1」代換．應用均值定理求函式的最值時，必須注意「一正二定三相等」．
8．若a，b是正常數，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，則＋≥，當且僅當＝時取等號．利用以上結論，可以得到函式f(x)＝＋(x∈)的最小值為________，取最小值時x的值為________．
解析：f(x)＝＋≥＝25.當且僅當＝，即x＝時上式取最小值，即[f(x)min]＝25.
答案：25
9．(2010·重慶)已知t>0，則函式y＝的最小值為________．
解析：依題意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，此時t＝1，即函式y＝(t>0)的最小值是－2.
答案：－2
10．(2010·浙江)若正實數x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________．
解析：由基本不等式得xy≥2＋6，令＝t得不等式t2－2t－6≥0，解得t≤－(捨去)或者t≥3，故xy的最小值為18.
答案：18
三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)
11．設a、b、c為正數，求證＋＋≥a＋b＋c
分析：通過觀察可得：·＝c2，·＝b2，·＝a2
從而利用基本不等式即可．
證明：∵a、b、c均是正數∴，，均是正數∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b
三式相加得：2≥2(a＋b＋c) ∴＋＋≥a＋b＋c
評析：先區域性運用基本不等式，再利用不等式的性質，(注意限制條件)通過相加(乘)合成為待證的不等式，既是運用基本不等式時的一種重要技能，也是證明不等式時的一種常用方法．
12．設函式f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．
(1)當a＝2時，求函式f(x)的最小值； (2)當0解：(1)把a＝2代入f(x)＝x＋中，得f(x)＝x＋＝x＋1＋－1.
由於x∈[0，＋∞)，所以x＋1>0， >0.所以f(x)≥2－1.
當且僅當x＋1＝，即x＝－1時，f(x)取得最小值，最小值為2－1.
(2)因為f(x)＝x＋＝x＋1＋－1，(此時再利用(1)的方法，等號取不到)
設x1>x2≥0，則f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)·.
由於x1>x2≥0，所以x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1.所以(x1＋1)(x2＋1)>1.而0所以<1.
所以f(x1)－f(x2)>0.即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[0，＋∞)上單調遞增．
所以f(x)min＝f(0)＝a.
評析：(2)問中因等號不能取到，所以考慮使用函式單調性，由此提醒我們時刻注意三個條件，在變形時拆分項及配湊因式是常用的方法．
13．某廠為適應市場需求，投入98萬元引進世界先進裝置，並馬上投入生產，第一年需各種費用12萬元，從第二年開始，每年所需費用會比上一年增加4萬元．而每年因引入該裝置可獲得年利潤為50萬元．請你根據以上資料，解決以下問題：
(1)引進該裝置多少年後，開始盈利？
(2)引進該裝置若干年後，有兩種處理方案：
第一種：年平均利潤達到最大值時，以26萬元的**賣出．
第二種：盈利總額達到最大值時，以8萬元的**賣出．問哪種方案較為合算？
解：開始盈利就是指所獲利潤大於投資總數，據此建立不等式求解；所謂方案最合理，就是指賣出裝置時的年平均利潤較大，因此只需將兩種方案的年平均利潤分別求出，進行比較即可．
(1)設引進該裝置x年後開始盈利．盈利額為y萬元．
則y＝50x－98－＝－2x2＋40x－98，令y>0，得10－(2)第一種：年平均盈利為，＝－2x－＋40≤－2＋40＝12，當且僅當2x＝，即x＝7時，年平均利潤最大，共盈利12×7＋26＝110萬元．
第二種：盈利總額y＝－2(x－10)2＋102，當x＝10時，取得最大值102，即經過10年盈利總額最大，共計盈利102＋8＝110萬元兩種方案獲利相等，但由於方案二時間長，所以採用方案一合算．
評析：用基本不等式解決實際問題時，一般都是求某個量的最值，這時，先把要求最值的量表示為某個變數的函式，再利用基本不等式求該函式的最值，求最值時，仍要滿足前面所說的三個求最值的要求．有些實際問題中，要求最值的量需要用幾個變數表示，同時，這幾個變數滿足某個關係式，這時，問題變成了乙個條件最值，可用前面的求條件最值的方法求最值．
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