第四十一講雙曲線
班級________ 姓名________ 考號________ 日期________ 得分________
一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題後的括號內．)
1．雙曲線虛軸的乙個端點為m，兩個焦點為f1、f2，∠f1mf2＝120°，則雙曲線的離心率為( )
a. b.
c. d.
解析：由圖易知：＝tan60°＝，
不妨設c＝，b＝1，則a＝.
∴e＝＝＝.故選b.
答案：b
2．已知雙曲線9y2－m2x2＝1(m>0)的乙個頂點到它的一條漸近線的距離為，則m等於( )
a．1b．2
c．3d．4
解析：9y2－m2x2＝1(m>0)a＝，b＝，取頂點，一條漸近線為mx－3y＝0，
∵＝m2＋9＝25，
∴m＝4，故選d.
答案：d
3．已知雙曲線的兩個焦點為f1(－，0)、f2(，0)，m是此雙曲線上的一點，且滿足則該雙曲線的方程是( )
a.－y2＝1b．x2－＝1
c.－＝1d.－＝1
解析：設雙曲線方程為－＝1，且m為右支上一點，
由已知|mf1|－|mf2|＝2a，
∴＝4a2.
又∵∴4c2－4＝4a2，即b2＝1.
又∵c＝，∴a2＝9.
∴雙曲線方程為－y2＝1，故選a.
答案：a
4．我們把離心率為e＝的雙曲線－＝1(a>0，b>0)稱為**雙曲線．給出以下幾個說法：
①雙曲線x2－＝1是**雙曲線；
②若b2＝ac，則該雙曲線是**雙曲線；
③若∠f1b1a2＝90°，則該雙曲線是**雙曲線；
④若∠mon＝90°，則該雙曲線是**雙曲線．
其中正確的是( )
a．①② b．①③
c．①③④ d．①②③④
解析：①e＝＝＝＝，雙曲線是**雙曲線．
②由b2＝ac，可得c2－a2＝ac，兩邊同除以a2，即e2－e－1＝0，從而e＝，雙曲線是**雙曲線．
③|f1b1|2＝b2＋c2，|a2b1|2＝b2＋a2，|f1a2|2＝(a＋c)2，注意到∠f1b1a2＝90°，所以b2＋c2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即b2＝ac，由②可知雙曲線為**雙曲線．
④∵|mn|＝，由射影定理知|of2|2＝|mf2|·|f2n|，即c2＝，從而b2＝ac，由②可知雙曲線為**雙曲線．
答案：d
5．過雙曲線x2－y2＝8的左焦點f1有一條弦pq在左支上，若|pq|＝7，f2是雙曲線的右焦點，則△pf2q的周長是( )
a．28b．14－8
c．14＋8d．8
解析：|pf2|＋|pq|＋|qf2|
＝|pf2|－|pf1|＋|qf2|－|qf1|＋2·|pq|
＝14＋8.
答案：c
6．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為f，若過點f且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有乙個交點，則此雙曲線離心率的取值範圍是( )
a．[1,2b．(1,2)
c．[2d．(2，＋∞)
解析：依題意，應有≥tan60°，又＝，
∴≥，解得e≥2.
答案：c
二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題後的橫線上．)
7．已知點p是雙曲線－＝1上除頂點外的任意一點，f1、f2分別為左、右焦點，c為半焦距，△pf1f2的內切圓與f1f2切於點m，則|f1m|·|f2m
解析：根據從圓外一點向圓所引的兩條切線長相等，
|f1m|－|f2m|＝|pf1|－|pf2|＝2a，
又|f1m|＋|f2m|＝2c，
解得|f1m|＝a＋c，|f2m|＝c－a，從而|f1m|·|f2m|＝c2－a2＝b2.
答案：b2
8．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為f1(－c,0)、f2(c,0)．若雙曲線上存在點p，使＝，則該雙曲線的離心率的取值範圍是________．
解析：∵e＝＝＝
＝＝1＋，
∵|pf2|>c－a，即e<1＋，
∴e2－2e－1<0.
又∵e>1，∴1答案：(1，＋1)
9．以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，若一條雙曲線與它的共軛雙曲線的離心率分別為e1，e2，則當它們的實、虛軸都在變化時，e＋e的最小值是________．
解析：∵e＝，e＝，
∴e＋e＝＋
＝2＋＋≥2＋2
＝4(當且僅當a＝b時等號成立)．
答案：4
10．設f1和f2為雙曲線－y2＝1的兩個焦點，點p在雙曲線上且滿足∠f1pf2＝60°，則△f1pf2的面積是______．
解析：在△f1pf2中，由餘弦定理，得
|f1f2|2＝|pf1|2＋|pf2|2－2|pf1||pf2|·cos60°，
∴|f1f2|2＝(|pf1|－|pf2|)2＋|pf1||pf2|.
又|f1f2|2＝20，||pf1|－|pf2||＝4.
∴|pf1||pf2|＝4，
∴s△f1pf2＝|pf1||pf2|sin60°＝.
答案：三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)
11．如圖所示，雙曲線的中心在座標原點，焦點在x軸上，f1，f2分別為左、右焦點，雙曲線的左支上有一點p，∠f1pf2＝，且△pf1f2的面積為2，又雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程．
解：設雙曲線方程為：－＝1(a>0，b>0)．
f1(－c,0)，f2(c,0)，p(x0，y0)．
在△pf1f2中，由餘弦定理，得：
|f1f2|2＝|pf1|2＋|pf2|2－2|pf1|·|pf2|·cos＝(|pf1|－|pf2|)2＋|pf1|·|pf2|.
即4c2＝4a2＋|pf1|·|pf2|.
又∵s△pf1f2＝2.
∴|pf1|·|pf2|·sin＝2.
∴|pf1|·|pf2|＝8.
∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.
又∵e＝＝2，∴a2＝.
∴雙曲線的方程為：－＝1.
12．已知曲線c：＋x2＝1.
(1)由曲線c上任一點e向x軸作垂線，垂足為f，動點p滿足，求點p的軌跡．p的軌跡可能是圓嗎？請說明理由；
(2)如果直線l的斜率為，且過點m(0，－2)，直線l交曲線c於a、b兩點，又，求曲線c的方程．
解：(1)設e(x0，y0)，p(x，y)，
則f(x0,0)，∵，
∴(x－x0，y)＝3(x－x0，y－y0)．
∴代入＋x＝1中，得＋x2＝1為p點的軌跡方程．
當λ＝時，軌跡是圓．
(2)由題設知直線l的方程為y＝x－2，
設a(x1，y1)，b(x2，y2)，
聯立方程組
消去y得：(λ＋2)x2－4x＋4－λ＝0.
∵方程組有兩解，∴λ＋2≠0且δ>0，
∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x1·x2＝，
而＝x1x2＋(y1＋2)·(y2＋2)＝x1x2＋x1·x2＝3x1x2＝，
∴＝－，解得λ＝－14.
∴曲線c的方程是x2－＝1.
13．(2010·南昌調研試題)如圖，p是以f1、f2為焦點的雙曲線c：－＝1上的一點，已知
(1)求雙曲線的離心率e；
(2)過點p作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交於p1、p2兩點，若.求雙曲線c的方程．
解：(1)利用向量的垂直及雙曲線的定義建立等式即可確定，(2)運用向量的座標運算，利用待定係數法建立方程組即可解得．
(1)由得，即△f1pf2為直角三角形．設＝2r，於是有(2r)2＋r2＝4c2和2r－r＝2a，也就是5×(2a)2＝4c2，所以e＝.
(2)＝＝2，可設p1(x1,2x1)，p2(x2，－2x2)，p(x，y)，則＝x1x2－4x1x2＝－，
所以x1x2＝.①
由2即x＝，y＝；又因為點p在雙曲線－＝1上，所以－＝1，又b2＝4a2，代入上式整理得x1x2＝a2②，由①②得a2＝2，b2＝8，故所求雙曲線方程為－＝1.
評析：平面向量與平面解析幾何的綜合考查是近幾年高考考查的熱點問題，往往通過向量的運算及其幾何意義來解決解析幾何問題．在解析幾何中當直線與曲線相交時，對於交點座標，若直接求解有時非常複雜，故往往設而不求，即設出點的座標，利用點在曲線上或其滿足的性質求解．本題借助直線與雙曲線相交，利用設而不求的思想，結合向量的座標運算及韋達定理簡捷求出．
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