第二十八講等差數列
班級________ 姓名________ 考號________ 日期________ 得分________
一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題後的括號內．)
1．等差數列的前n項和記為sn，若a2＋a4＋a15的值是乙個確定的常數，則數列中也為常數的項是( )
a．s7b．s8
c．s13d．s15
解析：設a2＋a4＋a15＝p(常數)，[**:學_科_網z_x_x_k]
∴3a1＋18d＝p，解a7＝p.
∴s13＝＝13a7＝p.
答案：c
2．等差數列中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，則n為( )
a．48 b．49
c．50 d．51
解析：∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，則由a1＝得d＝，令an＝33＝＋(n－1)×，可解得n＝50.故選c.
答案：c
3．設等差數列的前n項和為sn，若s4≥10，s5≤15，則a4的最大值為( )
a．2 b．3
c．4 d．5
解析：a5＝s5－s4≤5，s5＝a1＋a2＋…＋a5＝5a3≤15，a3≤3，則a4＝≤4，a4的最大值為4.故選c.
答案：c
4．設sn是等差數列的前n項和，s5＝3(a2＋a8)，則的值為( )
a. b.
c. d.
解析：∵是等差數列，
∴＝＝×5＝＝，故選d.
答案：d
5．(2011·濟寧市模擬)已知數列為等差數列，若<－1，且它們的前n項和sn有最大值，則使sn>0的n的最大值為( )
a．11 b．19
c．20 d．21
解析：∵ <－1，且sn有最大值，
∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，
∴s19＝＝19·a10>0，
s20＝＝10(a10＋a11)<0.
所以使得sn>0的n的最大值為19，故選b.
答案：b
6．如圖，座標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1,2,3,4,5,6的橫縱座標分別對應數列(n∈n*)的前12項，如下表所示：
按如此規律下去，則a2009＋a2010＋a2011等於( )
a．1003 b．1005
c．1006 d．2011[**:學科網]
解析：依題意得，數列a2，a4，a6，…，a2k，…，是以a2＝1為首項，1為公差的等差數列，因此a2010＝a2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.數列a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的規律呈現，且a2009是該數列的第1005項，且1005＝2×502＋1，因此a2009＝503，a2011＝－503，a2009＋a2010＋a2011＝1005，選b.
答案：b
二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題後的橫線上．)[**
7．設sn是等差數列的前n項和，a12＝－8，s9＝－9，則s16
解析：s9＝9a5＝－9，
∴a5＝－1，s16＝8(a5＋a12)＝－72.
答案：－72
8．已知兩個等差數列和的前n項和分別為an和bn，且＝，則
解析：本題考查等差數列的基礎知識，由於這是選擇題可直接由結論＝求得．
答案： [**:學科網zxxk]
9．設f(x)＝，利用課本中推導等差數列前n項和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為________．
解析：∵f(x)＝，
∴f(1－x)＝＝＝，
∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝.
設s＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)，
則s＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－5)，
∴2s＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋
[f(－5)＋f(6)]＝6，
∴s＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝3.
答案：3
10．等差數列的前n項和為sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，記tn＝，如果存在正整數m，使得對一切正整數n，tn≤m都成立，則m的最小值是________．
解析：設等差數列的首項為a1，公差為d.
∵a4－a2＝8，∴d＝4.
又∵a3＋a5＝26，即2a1＋6d＝26，∴a1＝1.
∴sn＝n＋×4＝2n2－n，
則tn＝＝2－<2.
∵對一切正整數tn≤m恆成立，∴m≥2.
∴m的最小值為2.
答案：2
三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)[**:z+xx+
11．已知：f(x)＝－，數列的前n項和為sn，點pn在曲線y＝f(x)上(n∈n*)，且a1＝1，an>0.
(1)求數列的通項公式；
(2)數列的前n項和為tn，且滿足＝＋16n2－8n－3，問：當b1為何值時，數列是等差數列．
解：(1)由y＝－，
點pn在曲線y＝f(x)上，
∴－＝f(an)＝－，
並且an>0，∴＝，
∴－＝4(n∈n*)．
數列{}是等差數列，首項＝1，公差d為4，[**:學科網zxxk]
∴＝1＋4(n－1)＝4n－3，a＝.
∵an>0，∴an＝(n∈n*)．
(2)由an＝，＝＋16n2－8n－3得
(4n－3)tn＋1＝(4n＋1)tn＋(4n－3)(4n＋1)，
＝＋1.
令cn＝，如果c1＝1，此時b1＝t1＝1，
∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，n∈n*，
則tn＝(4n－3)n＝4n2－3n，n∈n*，
∴bn＝8n－7，n∈n*，∴b1＝1時數列是等差數列．[**:學科網]
12．數列滿足an＝3an－1＋3n－1(n∈n*，n≥2)，已知a3＝95.
(1)求a1，a2；
(2)是否存在乙個實數t，使得bn＝(an＋t)(n∈n*)，且為等差數列？若存在，則求出t的值；若不存在，請說明理由．
解：(1)n＝2時，a2＝3a1＋32－1
n＝3時，a3＝3a2＋33－1＝95，
∴a2＝23.
∴23＝3a1＋8，∴a1＝5.
(2)當n≥2時，
bn－bn－1＝(an＋t)－(an－1＋t)
＝(an＋t－3an－1－3t)
＝(3n－1－2t)＝1－.
要使為等差數列，則必須使1＋2t＝0，∴t＝－，
即存在t＝－，使為等差數列．
13．設f(x)＝(a≠0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈n*.
(1)證明數列是等差數列；
(2)求數列的通項公式；
(3)求數列的前n項和．
分析：將題設中函式解析式轉化為數列的遞推關係，再將遞推關係通過整理變形轉化為等差數列，從而求數列的通項公式，本題在求前n項和時運用了裂項相消法，這是數列求和的常用方法．
解：(1)證明：an＋1＝f(an)＝＝，
∴＝＋，即－＝.
∴是首項為1，公差為的等差數列．
(2)由(1)知是等差數列，
∴＝1＋(n－1).整理得an＝.[**:學科網]
(3)bn＝an·an＋1＝·＝a2.
設數列的前n項和為tn，
則tn＝a2
＝a2＝a2·＝.
∴數列的前n項和為.
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