舜耕中學高一數學選修1—1導學案(教師版) 編號：15 等級：
一、【創設情境】
為了描述現實世界中運動、過程等變化著的現象,在數學中引入了函式,
隨著對函式的研究,產生了微積分,微積分的創立以自然科學中四類問題的處理直接相關:
1、已知物體運動的路程作為時間的函式,求物體在任意時刻的速度與加速度等;
2、求曲線的切線;
3、求已知函式的最大值與最小值;
4、求長度、面積、體積和重心等.
導數是微積分的核心概念之一它是研究函式增減、變化快慢、最大(小)值等問題最一般、最有效的工具.
導數研究的問題即變化率問題:研究某個變數相對於另乙個變數變化的快慢程度.
二、新課講授
(一)問題提出
問題1 氣球膨脹率
我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢?
氣球的體積(單位:)與半徑(單位:)之間的函式關係是
如果將半徑表示為體積的函式,那麼
分析:(1)當從增加到時,氣球半徑增加了
氣球的平均膨脹率為
(2)當從增加到時,氣球半徑增加了
氣球的平均膨脹率為
可以看出,隨著氣球體積逐漸增大,它的平均膨脹率逐漸變小了.
思考: 當空氣容量從v1增加到v2時,氣球的平均膨脹率是多少?
問題2 高台跳水
在高台跳水運動中,運動員相對於水面的高度(單位:)與起跳後的時間(單位:)存在函式關係.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?
思考計算:和的平均速度
在這段時間裡,
在這段時間裡,
**: 計算運動員在這段時間裡的平均速度,並思考以下問題:
(1)運動員在這段時間內使靜止的嗎？
(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什麼問題嗎？
**過程: 如圖是函式的影象,
結合圖形可知, ,所以
雖然運動員在這段時間裡的平均速度為,
但實際情況是運動員仍然運動,並非靜止,
可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態.
(二)平均變化率概念
1.上述問題中的變化率可用式子表示,
稱為函式從到的平均變化率.
2.若設, (這裡看作是對於的乙個「增量」可
用代替,同樣)
則平均變化率為
思考: 觀察函式的圖象
平均變化率表示什麼?
三、典例分析
例1 已知函式的圖象上的一點及
臨近一點則
解: ∴
例2 求在附近的平均變化率.
解: 所以
所以在附近的平均變化率為
課堂練習
1.質點運動規律為,則在時間中相應的平均速度為
2.物體按照的規律作直線運動,求在附近的平均變化率.
3.過曲線上兩點和作曲線的割線,
求出當時割線的斜率.
四、【課堂小結】
1.平均變化率的概念.
2.函式在某點處附近的平均變化率.
五、【書面作業】
六、【板書設計】
七、【教後記】
1.2.
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