學習集合知識的幾點注意
一、注意利用韋恩圖
韋恩圖是集合特有的，它是將一部分抽象的集合問題轉化為具體問題的重要工具．
例1．某校高二（1）班有學生50人，參加數學小組的有25人，參加英語小組的有32人，求既參加數學小組又參加英語的人數的最大值與最小值．
解析：設既參加數學小組又參加英語的有人，如右圖，僅參加數學小組的人數為，僅參加英語小組的人數為，至少參加一項的人數為．
∴解得≤≤25．
因此，兩個小組都參加的人數的最大值為25，最小值為7．
二、注意集合語言的轉化
數學語言具有高度的準確性、精練性，表達方式也具有多樣性，用集合方式進行表達也是常規表達方式之一，求解時必需注意集合語言的轉化．
例2．已知兩集合，
，其中．求點的集合，使為單元素集．
解析：由為單元素集，可知兩圓與相外切或內切，此時有，或，即，或．故集合，或．
三、要注意空集的兩重性
空集具有元素的性質,也有集合的屬性,所以空集有兩重性．
例3．已知下列關係式其中正確的有（ ）
a．4個b．3個c．2個d．1個
分析：如果從「空集是任何集合的子集」這一角度考慮,可以得出①②正確；如果將看成非空集合,則又可得出③正確．故選b項．
四、要注意空集的存在性
例4．設集合≤≤,≤≤,若,求實數的取值範圍．
錯解：由,得解得：≤≤．
分析：忽視了,即「空集是任何集合的子集」的情況．當時,顯然也有．所以有正解：
當時,由,∴解得：≤≤．
當時,＞,解得＜．
綜上,≤．
五、要注意分清集合的代表元素
根據元素的確定性,集合中的元素都有確定的含義．對於用描述法給定的集合,要弄清楚它的代表元素有何屬性（如表示數集、點集等）,這是集合問題中解題的關鍵．例如,對於三個集合, , ,,不仔細辨別,就會誤認為這三個集合是相同的．實際上,在集合中,代表元素表示拋物線上任意一點的橫座標,集合即中的範圍；在集合中,代表元素表示拋物線上任意一點的縱座標,集合即中的範圍；而在集合中,代表元素是實數對, ,它表示的是點,所以集合是由拋物線上的點組成的集合．
六、要注意集合元素的互異性
集合中元素有三個性質,在此,提醒同學們注意的是元素的互異性．
例5．若, , , ,,且,求的值．
錯解：當時, ,則或；當時, ,則或．∴或或．
分析：錯解雖然注意了集合元素的無序性,但忽視了集合元素的互異性．當集合中有字母時,在根據已知條件求出該字母的值後,一定要檢驗原集合中元素是否具備互異性．當時,集合中元素與不滿足互異性,故應捨去．本題正確答案為或．
高一數學集合
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