一、有理數的意義
1、 正數和負數
知識點1 負數的引入
正數和負數是根據實際需要而產生的，隨著社會的發展，小學學過的自然數、分數和小數已不能滿足實際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數量，怎樣表示它們呢？我們把一種意義的量規定為正的，把另一種和它意義相反的的量規定為負的，這樣就產生了正數和負數。
用正數和負數表示具有相反意義的量時，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習慣把「前進、上公升、收入、零上溫度」等規定為正，而把「後退、下降、支出、零下溫度」等規定為負。
知識點2 正數和負數的概念
（1） 像3、1.5、、58等大於0的數，叫做正數，在小學學過的數，除0以外都是正數，正數比0大。
（2） 像－3、－1.5、、－584等在正數前面加「－」(讀作負)號的數，叫做負數。負數比0小。
（3） 零即不是正數也不是負數，零是正數和負數的分界。
注意：（1）為了強調，正數前面有時也可以加上「＋」（讀作正）號，例如：3、1.5、也可以寫作＋3、＋1.5、＋。
（2）對於正數和負數的概念，不能簡單理解為：帶「＋」號的數是正數，帶「－」號的數是負數。例如：
－a一定是負數嗎？答案是不一定。因為字母a可以表示任意的數，若a表示的是正數，則－a是負數；若a表示的是0，則－a仍是0；當a表示負數時，－a就不是負數了（此時－a是正數）。
知識點3 有理數的有關概念
（1） 有理數：整數和分數統稱為有理數。
注：（1）有時為了研究的需要，整數也可以看作是分母為1的數，這時的分數包括整數。但是本講中的分數不包括分母是1的分數。
（2）因為分數與有限小數和無限迴圈小數可以互化，上述小數都可以用分數來表示，所以我們把有限小數和無限迴圈小數都看作分數。
（3）「0」即不是正數，也不是負數，但「0」是整數。
（2） 整數包括正整數、零、負整數。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。
（3） 分數包括正分數和負分數，例如：、、0.6、－、－、－0.6等等。
知識點4 有理數的分類
（1）按整數、分數的關係分類2）按正數、負數與0的關係分類：
注：通常把正數和0統稱為非負數，負數和0統稱為非正數，正整數和0稱為非負整數（也叫做自然數），負整數和0統稱為非正整數。如果用字母表示數，則a>0表明a是正數；a<0表明a是負數；a0表明a是非負數；a0表明a是非正數。
2、 數軸
數軸是理解有理數概念與運算的重要工具，數與表示數的圖形（如數軸）相結合的思想是學習數學的重要思想。正如華羅庚教授詩云：
數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。
數缺形時少直覺，形少數是難入微。
數形結合百般好，隔裂分家萬事非。
切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯絡，切莫分離！
數與形的第一次聯姻——數軸，使數與直線上的點之間建立了對應關係，揭示了數與形的內在聯絡，並由此成為數形結合的基礎。
知識點1 數軸的概念
規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸
數軸的定義包含三層含義：一，數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；二，數軸有三要素——原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；三，原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據實際需要「規定」的（通常取向右為正方向）；四，注意下標單位，上標數。
知識點2 數軸的畫法
（1）畫一條直線（一般畫成水平的直線）。
（2）在直線上選取一點為原點，並用這點表示零（在原點下面標上「0」）。
（3）確定正方向（一般規定向右為正），用箭頭表示出來。
（4）選取適當的長度作為單位長度，從原點向右，每隔乙個單位長度取一點，依次表示為1，2，3……；從原點向左，每隔乙個單位長度取一點，依次表示為－1，－2，－3……
注 （1）原點的位置、單位長度的大小可根據實際情況適當選取；
（2）確定單位長度時，根據實際情況，有時也可以每隔兩個(或更多的)單位長度取一點，從原點向右，依次表示為2，4，6，……；從原點向左，依次表示為－2，－4，－6，……；
知識點3 數軸上的點與有理數的關係
所有的有理數都可以用數軸上的點表示。正有理數可以用原點右邊的點表示，負有理數可以用原點左邊的點表示，零用原點表示。
知識點4 利用數軸比較有理數的大小
在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。正數都大於0；負數都小於0；正數大於一切負數。
知識點5 數形結合思想解決問題
數軸是將有理數具體化的工具，主要用於研究距離問題。
3、相反數
知識點1 相反數的概念
（1）相反數的幾何定義：在數軸上原點的兩旁，到原點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互為相反數。如下圖，4與－4互為相反數，與－互為相反數。
（2）相反數的代數定義：只有符號不同的兩個數（除了符號不同以外完全相同），我們說其中乙個是另乙個的相反數，0的相反數是0。
知識點2 相反數的表示方法
一般地，數a的相反數是－a。這裡a表示任意的乙個數，可以是正數、負數、或者0。
知識點3 多重符號的化簡
（1）在乙個數的前面添上乙個「＋」號，仍然與原數相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。
（2）在乙個數的前面添上乙個「－」號，就成為原數的相反數。如－（－3）就是－3的相反數，因此，－（－3）＝3。
4、絕對值
知識點1 絕對值的概念
（1）絕對值的幾何定義：乙個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離，數a的絕對值記作「」；有。
（2）絕對值的代數定義：乙個正數的絕對值是它本身；乙個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。即
知識點2 兩個負數大小的比較
因為兩個負數在數軸上的位置關係是：絕對值較大的負數一定在絕對值較小的負數的左邊，所以，兩個負數，絕對值大的反而小。
比較兩個負數大小的方法是：一、先分別求出這兩個負數的絕對值；二、比較這兩個絕對值的大小；三、根據「兩個負數，絕對值大的反而小」做出正確的判斷。
知識點3 有理數大小的比較法則
正數都大於0，負數都小於0，正數大於一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小。
知識點4的幾何意義
是表示數a的點與表示數b的點的距離，因此有。
二、有理數的運算
1、有理數的加法
知識點1 有理數的加法
把兩個有理數合成乙個有理數的運算叫做有理數的加法。
相加的兩個有理數有以下幾種情況：（1）兩數都是正數；（2）兩數都是負數；（3）兩數異號，即乙個是正數，乙個是負數；（4）乙個是正數，乙個是0；（5）乙個是負數，乙個是0；（6）兩個都是0。
知識點2 有理數加法法則
（1）同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加。
（2）絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。
（3）乙個數同0相加，仍得這個數。
知識點3 有理數加法的運算定律
（1）加法交換律：。
（2）加法結合律：。
2、有理數的減法
知識點1 有理數減法的意義
有理數減法的意義與小學學過的減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的乙個加數，求另乙個加數的運算，叫做減法。減法是加法的逆運算。
知識點2 有理數減法法則
減去乙個數，等於加上這個數的相反數，即
3、有理數的加減混合運算
知識點1 有理數加減法統一成加法的意義
對於有理數的加減混合運算中的減法，可以根據有理數減法法則將減法轉化為加法。這樣一來，就將原來的混合運算統一為加法運算。統一成加法以後的式子是幾個正數或負數的和的形式，有時，我們把這樣的式子叫做代數和。
知識點2 有理數加減混合運算的方法
一、運用減法法則將有理數混合運算中的減法轉化為加法。
二、運用加法法則、加法交換律、加法結合律簡便運算。
4、有理數的乘法
知識點1 有理數乘法法則
兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘。任何數同0相乘，都得0。
知識點2 有理數乘法法則的推廣
（1）幾個不等於0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定。當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正。
（2）幾個數相乘，只要有乙個因數為0，積就為0。
知識點3 有理數乘法的運算定律
（1）乘法交換律：。
（2）乘法結合律：。
（3）分配律：。
5、有理數的除法
知識點1 倒數的概念
乘積是1的兩個數互為倒數。
由於 ，所以當a是不為0的有理數時，a的倒數是。若a、b互為倒數，則ab＝1。
知識點2 有理數除法法則
一、除以乙個數等於乘以這個數的倒數。即。
二、兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。0除以任何乙個不等於0的數，都得0。
6、有理數的乘方
知識點1 有理數乘方的意義
求n個相同因數的積的運算，叫乘方。記作「」。乘方的結果叫做冪。在中，叫做底數，n叫做指數，讀作的n次方，。
知識點2 乘方運算的符號法則
正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。
知識點3 科學計數法
把乙個大於10的數記成「」的形式，其中a是整數數字中只有一位的數，這種記數法叫做科學記數法。如42 000 000＝4.2×。
7、有理數的混合運算
知識點1 有理數混合運算的運算順序
先算乘方，再算乘除，最後算加減，如果有括號，就先算括號裡面的。
8、近似數與有效數字
知識點1 研究近似數的意義
在生產實踐和實際生活中，不僅存在著大量的準確數，同時也存在著大量的近似數。近似數就是與實際接近的數。出現近似數的原因有兩點：
一是有時候不能得到完全準確的數，如太陽的半徑大約是696 000千公尺；二是有時也沒有必要弄得完全準確，如買10千克大公尺，有時可能多一點，有時也可能少一點。
知識點2 精確度
乙個近似數，四捨五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。
知識點3 有效數字
四捨五入後的近似數，從左邊第乙個不為0的數字起，到精確到的數字止，所有的數字，都叫做這個數的有效數字。
方法技巧1：在只含有乘、除法的算式中，可以由「負」號的個數確定結果的符號。「負」號有奇數個時，結果為負；「負」號有偶數個時，結果為正。
方法技巧2：分數、小數乘除混合運算，通常把小數化為分數，帶分數化為假分數。當把乘除都化成乘積的形式時，應先確定積和符號。
含有多重括號，去括號的一般方法是由內向外，即依次去掉小、中、大括號，也可以由外到內。在進行混合運算時，要注意兩點：一是運算順序，二是運算符號。
有理數知識點梳理
第一章有理數 1.1 正數與負數 在以前學過的0以外的數前面加上負號 的數叫負數。與負數具有相反意義，即以前學過的0以外的數叫做正數 根據需要，有時在正數前面也加上 大於0的數叫正數。0既不是正數也不是負數。0是正數和負數的分界，是唯一的中性數。搞清相反意義的量 南北 東西 上下 左右 上公升下降 ...
有理數知識點梳理
有理數 知識點總結歸納 正數和負數 正數和負數的概念 負數 比0小的數正數 比0大的數 0既不是正數，也不是負數 注意 字母a可以表示任意數，當a表示正數時，a是負數 當a表示負數時，a是正數 當a表示0時，a仍是0。如果出判斷題為 帶正號的數是正數，帶負號的數是負數，這種說法是錯誤的，例如 a,a...
有理數知識點梳理 學生版
第一章有理數 一 有理數的意義 1 正數和負數 知識點1 負數的引入 我們把一種意義的量規定為正的，把另一種和它意義相反的量規定為負的。習慣把 前進 上公升 收入 零上溫度 等規定為正，後退 下降 支出 零下溫度 等規定為負。知識點2 正數和負數的概念 1 像3 1.5 58等大於0的數，叫做正數，...