第三課時弧度制
教學目標：
理解1弧度的角、弧度制的定義，掌握角度與弧度的換算公式並能熟練地進行角度與弧度的換算，熟記特殊角的弧度數；使學生認識到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者雖單位不同，但是互相聯絡的、辯證統一的.進一步加強對辯證統一思想的理解.
教學重點：
使學生理解弧度的意義，正確地進行角度與弧度的換算.
教學難點：
弧度的概念及其與角度的關係.
教學過程：
ⅰ.課題匯入
在初中幾何裡，我們學習過角的度量，1°的角是怎樣定義的呢?
周角的為1°的角.
這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制，今天我們再來學習另一種在數學和其他學科中常用的度量角的單位制——弧度制.
ⅱ.講授新課
［師］弧度制的單位符號是rad，讀作弧度.
我們把長度等於半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.即用弧度制度量時，這樣的圓心角等於1 rad.
請同學們考慮一下，周角的弧度數是多少?平角呢?直角呢?
因為周角所對的弧長l＝2πr，所以周角的弧度數是＝2π.同理平角的弧度數是＝π，直角的弧度是.
由此可知，任一0°到360°的角的弧度數x（x＝），必然適合不等式0≤x＜2π.角的概念推廣後，弧度的概念也隨之推廣.如果圓心角表示乙個負角，且它所對的弧長l＝4πr時，這個圓心角的弧度數是多少呢?
此時，我們應該先求出這個角的絕對值，然後在其前面放上「－」號，即所求圓心角的弧度數是－＝－＝－4π
一般地，正角的弧度數是乙個正數，負角的弧度數是乙個負數，零角的弧度數是零.任一角α的弧度數的絕對值｜α｜＝，其中l是以角α為圓心角時所對弧的長，r是圓的半徑，這種以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制.
從定義中我們可以看出，弧度制實質上是用弧長與其半徑的比值來反映弧所對圓心角的大小，這個比值與半徑的大小有沒有關係呢?
這個比值與半徑的大小無關而只與角的大小有關，即這樣定義是合理的.
用角度制和弧度制度量零角，單位不同，但量數相同(都是0)，用角度制和弧度制度量任一非零角，單位不同，量數也不同.下面我們來討論角度與弧度的換算.
因為周角的弧度數是2π，而在角度制下它是360°，所以360°＝2π rad.
180°＝π rad1°＝rad 角度化弧度時用之.
1 rad＝（）° 弧度化角度時用之
ⅲ.例題分析
［例1］把67°30′化成弧度
解：∵67°30′＝（67）°
∴67°30′＝rad×67＝π rad.
［例2］把π rad化成度
解：π rad＝π×（）°＝×180°＝108°
注意：(1)今後用弧度制表示角時，或者說「弧度」為單位度量角時，「弧度」二字或符號「rad」可以省略不寫，而只寫這個角的弧度數.(此時的弧度在形式上是不名數，但應當把它理解為名數.
如α＝2，即α是2 rad的角，sin3表示3 rad角的正弦，π＝180°即π rad＝180°).但用角度制表示角時，或者用「度」為單位度量角時，「度」即「°」不能省去.
(2)用弧度制表示角時，或者說用「弧度」為單位度量角時，常常把弧度數寫成多少π的形式，如無特別要求，不必把π寫成小數.
(3)今後在表示與角α終邊相同的角時，有弧度制與角度制兩種單位制，要根據角α的單位來決定另一項的單位，即兩項所用的單位制必須一致，絕對不能出現k·360°＋或者
2kπ－60°一類的寫法.
ⅳ.課堂練習
課本p10練習 1、2、3、4、7
對於練習中的1題再補充將60°、135°、150°化成弧度；3題再補充將11°15′化成弧度.
ⅴ.課堂小結
本節課我們學習了弧度制的定義，角度與弧度的換算公式與方法.應該注意，角度制與弧度制是度量角的兩種不同的單位制，它們是互相聯絡的，辯證統一的；角度與弧度的換算，關鍵要理解並牢記180°＝π rad這一關係式，由此可以很方便地進行角度與弧度的換算；三個注意的問題，同學們要切記；特殊角的弧度數，同學們要熟記.
ⅵ.課後作業
（一）課本p10習題 3、6、7
（二）預習內容：課本p9
弧度制(一)
1．角α的頂點在座標原點，始邊在x軸的正半軸上，當終邊過點a（，）時，角α是
a.第一象限角b.第二象限角
c.第三象限角d.第四象限角
2．若－＜α＜β＜，則α－β的範圍是
a.－π＜α－β＜0b.－＜α－β＜0
cd.－π＜α－β＜
3．設集合m＝，n則m∩n等於 （ ）
ab.cd.
4. 下列各組角中，終邊相同的角是
a.與kπ＋ (k∈與 (k∈z)
c.(2k＋1)π與(4k±1)π (k∈與2kπ± (k∈z)
5．若角α、β的終邊關於y軸對稱，則α、β的關係一定是（其中k∈z
ab.α－β＝
c.α－β＝（2k＋1d.α＋β＝(2k＋1
6．在與210°終邊相同的角中，絕對值最小的角的弧度數為
7．4弧度角的終邊在第象限.
8．－πrad化為角度應為
9．鈍角α的終邊與它的5倍角的終邊關於y軸對稱，則
10．自行車大鏈輪有48個齒，小鏈輪有20個齒，彼此由鏈條連線，當大鏈輪轉過一周時，小鏈輪轉過的角度是多少度？多少弧度 ？
11．如下圖，圓周上點a依逆時針方向做勻速圓周運動.已知a點1分鐘轉過θ(0＜θ＜π)角，2分鐘到達第三象限，14分鐘後回到原來的位置，求θ.
弧度制(一)答案
1．b 2．a 3．c 4. c 5．d 6．－ 7．三 8．－345° 9．
10．自行車大鏈輪有48個齒，小鏈輪有20個齒，彼此由鏈條連線，當大鏈輪轉過一周時，小鏈輪轉過的角度是多少度？多少弧度 ？
分析：在相同時間內，兩輪轉動的齒數相同，是解決問題的關鍵，因此，兩輪轉過的圈數之比與它們的齒數成反比，使問題得以解決.
解：由於大鏈輪與小鏈輪在相同時間內轉過的齒數相同，所以兩輪轉過的圈數之比與它們的齒數成反比，於是大輪轉過的圈數：小轉輪過的圈數=20∶48
據此解得當大輪轉1週時，小輪轉2.4周.
故小輪轉過的角度為360°×2.4＝864°
小輪轉過的弧度為864°×＝rad.
答：當大鏈輪轉過一周時，小鏈輪轉過的角度是864°，弧度是rad.
11．如下圖，圓周上點a依逆時針方向做勻速圓周運動.已知a點1分鐘轉過θ(0＜θ＜π)角，2分鐘到達第三象限，14分鐘後回到原來的位置，求θ.
解：a點2分鐘轉過2θ，且π＜2θ＜
14分鐘後回到原位，∴14θ＝2kπ,
θ＝，且＜θ＜，
∴θ＝或
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