第十二課時小結與複習（二）
●教學目標
（一）知識目標
1.構造向量法；
2.平面幾何性質應用.
（二）能力目標
1.熟悉向量的性質及運算律；
2.能根據向量性質特點構造向量；
3.熟練平面幾何性質在解題中應用；
4.熟練向量求解的座標化思路.
（三）德育目標
1.認識事物之間的內在聯絡；
2.認識向量的工具性作用，加強數學在實際生活中的應用意識.
●教學重點
1.向量的座標表示的應用；
2.構造向量法的應用.
●教學難點
構造向量法的適用題型特點的把握.
●教學方法
啟發引導式
針對向量座標表示的應用，通過非座標形式解法與座標化解法的比較來加深學生對於向量座標表示的認識，同時要加強學生選擇建立座標系的意識.
對於「構造向量法」的應用，本節例題選擇了本章的重點內容數量積的座標表示，目的要使學生把握座標表示的數量積性質的形式特點，同時增強學生的解題技巧，提高解題能力.
●教具準備
投影儀、幻燈片
第一張：數量積的性質（記作§5.13.2 a）
第二張：本節例題（記作§5.13.2 b）
●教學過程
ⅰ.複習回顧
［師］上一節，我們一起複習了本章的基本概念、性質、運算律及重要定理、公式，這一節我們將通過例題分析重點學習平面幾何性質及構造向量法在解題時的應用.
ⅱ.例題分析
［師］首先，我們一起回顧一下向量的數量積的有關性質（給出幻燈片§5.13.2 a）.
在熟悉了上述性質後，我們來看下面的例題.（給出幻燈片§5.13.2 b）
［例1］利用向量知識證明下列各式
（1）x2＋y2≥2xy
（2）|x|2＋|y|2≥2x·y
分析：（1）題中的結論是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法證得，而利用向量知識求證，則需構造向量，故形式上與向量的數量積產生聯絡.
（2）題本身含有向量形式，可根據數量積的定義式並結合三角函式性質求證.
證明：（1）設a＝（x，y），b＝（y，x）則
a·b＝xy＋yx＝2xy
|a||b|＝·＝x2＋y2
又a·b＝|a||b|cosθ（其中θ為a，b夾角）≤|a||b|
∴x2＋y2≥2xy
（2）設x，y的夾角為θ，
則x·y＝|x||y|cosθ≤|x||y|≤
∴|x|2＋|y|2≥2x·y
評述：（1）上述結論表明，重要不等式a2＋b2≥2ab，無論對於實數還是向量，都成立.
（2）在（2）題證明過程中，由於|x|，| y |是實數，故可以應用重要不等式求證.
［例2］利用向量知識證明
（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
分析：此題形式對學生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識求證，則關鍵在於根據其形式與數量積的座標表示產生聯絡，故需要構造向量.
證明：設a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）
則a·b＝a1b1＋a2b2，
|a|2＝a12＋a22，|b|2＝b12＋b22
∵a·b＝|a||b|cosθ≤|a||b|.（其中θ為a，b夾角）
∴（a·b）2≤|a2|b|2
∴（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
評述：此題證法難點在於向量的構造，若能恰當構造向量，則利用數量積的性質容易證明結論.這一技巧應要求學生注意體會.
［例3］已知f（x）＝
求證：|f（a）－f（b）|＜|a－b|（a≠b）
分析：此題若用分析法證明，則需採用平方的手段以去掉絕對值，但由於f（a）、f（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能達到去根號的目的.也可考慮構造向量法，利用向量的性質求證.
下面給出兩種證法.
證法一：∵f（a）＝，
f（b）＝，
∴要證明|f（a）－f（b）|＜|a－b|
只需證明|－|2＜|a－b|2
即1＋a2＋1＋b2－2＜a2＋b2－2ab
即＞1＋ab
只需證明［］2＞（1＋ab）2
即1＋a2＋b2＋a2b2＞1＋2ab＋a2b2
即a2＋b2＞2ab
∵a2＋b2≥2ab，又a≠b
∴a2＋b2＞2ab
∴|f（a）－f（b）|＜|a－b|
證法二：設a＝（1，a），b＝（1，b）
則|a|＝，|b|＝
a－b＝（0，a－b）
|a－b|＝|a－b|
由||a|－|b||≤|a－b|，其中當|a|＝|b|
即a＝b時，取「＝」，而a≠b
∴||a|－|b||＜|a－b|
即||＜|a－b|
∴|f（a）－f（b）|＜|a－b|.
評述：通過兩種證法的比較，體會「構造向量法」的特點，加深對向量工具性作用的
認識.［師］上述三個例題，主要通過「構造向量」解決問題，要求學生在體驗向量工具性作用的同時，注意解題方法的靈活性.下面，我們通過下面的例題分析，讓大家體會向量座標運算的特點，以及「向量座標化」思路在解題中的具體應用.
［例4］已知：如圖所示，abcd是菱形，ac和bd是它的兩條對角線.求證ac⊥bd.
分析：對於線段的垂直，可以聯想到兩個向量垂直的充要條件，而對於這一條件的應用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮座標形式的充要條件.
證法一：∵ ∴∴⊥
證法二：以oc所在直線為x軸，以b為原點建立直角座標系，設b（0，0），a（a，b），c（c，0）則由|ab|＝|bc|得a2＋b2＝c2
∵＝（c，0）－（a，b）＝（c－a，－b），
＝（a，b）＋（c，0）＝（c＋a，b）
∴·＝c2－a2－b2＝0
∴⊥即：ac⊥bd
評述：如能熟練應用向量的座標表示及運算，則將給解題帶來一定的方便.通過向量的座標表示，可以把幾何問題的證明轉化成代數式的運算，體現了向量的數與形的橋梁作用，有助於提高學生對於「數形結合」解題思想的認識和掌握.
［例5］若非零向量a和b滿足|a＋b|＝|a－b|.
證明：a⊥b.
分析：此題在綜合學習向量知識之後，解決途徑較多，可以考慮兩向量垂直的充要條件的應用，也可考慮平面圖形的幾何性質，下面給出此題的三種證法.
證法一：（根據平面圖形的幾何性質）
設＝a，＝b，
由已知可得a與b不平行，
由|a＋b|＝|a－b |得以、為鄰邊的平行四邊形oacb的對角線和相等.
所以oacb是矩形，
∴⊥∴a⊥b
證法二：∵|a＋b|＝| a－b|
∴（a＋b）2＝（a－b）2
∴a2＋2a·b＋b 2＝a2－2a·b＋b 2
∴a·b＝0
∴a⊥b
證法三：設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
|a＋b|＝，
|a－b|＝，
∴，化簡得：x1x2＋y1y2＝0，
∴a·b＝0，∴a⊥b.
［例6］已知向量a是以點a（3，－1）為起點，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點座標.
分析：此題若要利用兩向量垂直的充要條件，則需假設a的終點座標，然後表示a的座標，再根據兩向量垂直的充要條件建立方程.
解：設a的終點座標為（m，n）
則a＝（m－3，n＋1）
由①得n＝（3m－13），代入②得
25m2－150m＋209＝0
解得或∴a的終點座標是（）或（）
評述：向量的座標表示是終點座標減去起始點的座標，所以向量的座標與點的座標既有聯絡又有區別，二者不能混淆.
［師］上述例題，主要體現了兩向量垂直的充要條件的應用，在突出本章這一重點知識的同時，應引導學生注意解題方法的靈活性，尤其是向量的座標化思路在解題時的應用，將幾何與代數知識溝通起來.
ⅲ.課堂練習
1.已知a＝（1，0），b＝（1，1），當λ為何值時，a＋λb與a垂直.
解：a＋λb＝（1，0）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）
∵（a＋λb）⊥a，
∴（a＋λb）·a＝0
∴（1＋λ）＋0·λ＝0，
∴λ＝－1
即當λ＝－1時，a＋λb與a垂直.
2.已知|a|＝，|b|＝2，a與b的夾角為30°，求|a＋b|，|a－b|.
解：|a＋b|2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a||b|cos30°＋|b|2＝（）2＋2××2×＋22＝13
∴|a＋b|＝，
∵|a－b|2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos30°＋b2＝（）2－2××2×＋22＝1
∴|a－b|＝1
3.已知|a|＝3，|b|＝2，a|與b的夾角為60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.當m為何值時，c與d垂直?
解：若c⊥d，則c·d＝0
∴（3a＋5b）·（ma－3 b）＝0
∴3m|a|2＋（5m－9）a·b－15|b|2＝0
∴3m|a|2＋（5m－9）|a|| b |cos60°－15|b|2＝0
即27m＋3（5m－9）－60＝0
解得m＝.
4.已知a＋b＝c，a－b＝d
求證：|a|＝|b|c⊥d
證明：（1）c⊥d（a＋b）（a－b）＝0a2－b2＝0a2＝b2|a|＝|b|，
（2）|a|＝|b|a2＝b2a2－b2＝0（a＋b）（a－b）＝0c⊥d.
ⅳ.課時小結
［師］通過本節學習，要求大家進一步熟悉向量的性質及運算律，熟悉平面幾何性質在解題中的應用，能夠掌握向量座標化的思路求解問題，掌握構造向量並利用向量性質解題、證題的方法.
ⅴ.課後作業
課本p150 a組 27，28.
b組 5，6，7，8.
●板書設計
§5.13.2 小結與複習
1.本節主要方法
（1）構造向量法
（2）向量座標化
2.例題分析
3.學習練習
●備課資料
1.三角形內角和性質
定理：在△abc中，a、b、c分別為三個內角，則a＋b＋c＝180°
推論（1）：b＝60°2b＝a＋c
推論（2）：若a＜90°，則有sinb＞cosc，
cosb＜sinc，tanb＞cotc，cotb＜tanc.
推論（3）：sin（a＋b）＝sinc，cos（a＋b）＝－cosc，
tan（a＋b）＝－tanc，cot（a＋b）＝－cotc.
推論（4）：sin＝cos，cos＝sin，
tan＝cot，cot＝tan.
2.三角形內角和性質應用舉例
［例1］△abc中，若，求證：a、b、c成等差數列.
證明：由條件得，
由推論（3）得sin（b＋c）＝sina.
∴sin（b－c）＝sina－sinc
∴sin（b－c）－sin（b＋c）＝－sinc
即2cosbsinc＝sinc
∵sinc≠0，∴cosb＝，∴b＝.
故由推論（1）得2b＝a＋c.
所以a、b、c成等差數列.
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