【本講教育資訊】
一、教學內容：
必修一總複習
［本講的主要內容］
1、集合及其基本運算
2、函式的概念及其基本性質
3、二次函式與冪、指、對數函式
4、函式的應用
二、學習目標
1、了解集合語言是現代數學語言的重要組成部分，可以簡潔、準確地表述數學物件和結構；學會運用集合等數學語言來刻畫世界和運用數學語言學習數學、進行交流的能力；
2、加深對函式概念本質的認識和理解；加強對變數數學的認識，認識到函式是描述客觀世界變化規律的重要數學模型；並能結合實際問題，感受運用函式概念建立模型的過程與方法，了解指數函式、對數函式和冪函式是三類不同的函式增長模型；通過收集函式的應用例項，了解函式模型的廣泛應用。
三、知識要點
1、集合的概念與基本運算
①一組物件的全體形成乙個集合；常用大寫拉丁字母來標記，如集合m，集合a……
②集合中的元素有三大特徵，即無序性、確定性和互異性，這是判斷集合形成和區分集合的重要依據；
③集合的表示：窮舉法、描述法和圖示法
④集合的運算：指的是子、交、並、補四種運算，其結果仍然是乙個集合；
⑤以下題型的結果要用集合表述：求定義域、求值域、求不等式的解集、求方程（組）的解集以及集合運算的結果等。
2、函式的概念與基本性質
①函式概念的三種表述：運動的觀念，集合的觀念，對映的觀念；
②函式的兩大要素：定義域和對應法則；
③函式的三種表示方法：解析法，列表法和影象法；
④函式的兩大重要性質：奇偶性和單調性；
⑤對分段函式、復合函式的認識。
3、二次函式與冪、指、對數函式
①二次函式學習中的幾個要點：二次函式解析式的三種形式；二次函式的影象的開口方向、位置、零點及最值與係數的關係；含引數的二次函式的研究（引數分別在函式式中和定義區間中）；三個二次的關係；
②冪函式學習中的要點：冪函式的定義；冪函式的影象與性質；在同一座標系中不同指數的冪函式的影象的位置關係；
③指數函式學習中的要點：指數式的運算；指數函式的定義；指數函式的影象與性質；在同一座標系中不同底的指數函式影象的位置關係；
④對數函式學習中的要點：對數式的運算；對數函式的定義；對數函式的影象與性質；在同一座標系中不同底的對數函式影象的位置關係；對數函式與指數函式互為反函式的關係。
4、函式的應用：函式的應用主要包括兩種型別，其一是函式與方程思想在解題中的綜合應用；其二是函式模型在解決實際問題中的應用，常見的有效益最大化和成本最低問題。
四、考點解析與典型例題
考點一對集合概念的考查
例1. 試寫出如圖陰影部分所表示的集合
解：各陰影部分的表示方法均不唯一。
① [（a∩b）∩c∪c]∪[（a∩c）∩c∪b]∪[（b∩c）∩c∪a]
② [c∪（a∩b∩c）]∩（a∪b∪c）
③a∪（b∩c）
考點二對集合運算的考查
例2. 試寫出下列集合運算的結果
解：考點三對函式概念的考查
例3. 求形如的函式值域時，可以先將該函式式變形為乙個關於x的一元二次方程，然後再令判別式即可求出該函式的值域。試說明為什麼會有？
答：由於函式是建立在兩個非空數集上的對映，故對由其變形得到的關於x的一元二次方程而言，其解集非空，故有。
考點四求函式的定義域
例4. 求函式的定義域。
解：故該函式的定義域為：。
考點五求函式的值域
例5. 求函式的值域。
解：令代入函式解析式可得：，故可求得其值域為
考點六對函式的兩個重要性質的考查
例6. 奇函式滿足：；當，試解不等式
解：由奇函式的對稱性：；
例7 試判斷函式的單調性。
解：設，則函式可視為這兩個函式的復合函式，且知外函式是減函式。又因為：
故知：當x＜1時為增函式；當x≥1時為減函式。
考點七函式的作圖
例8. 如何由函式y＝f（x－1）－2的影象得到函式y＝f（x＋1）＋2的影象？
解：y＝f（x＋1）＋2可變形為（y－4）＝f[（x＋2）－1]－2，則知可將函式y＝f（x－1）－2的影象向左平移2個單位、再向上平移4個單位即可得到y＝f（x＋1）＋2的影象。
考點八含參的二次函式的研究
一般地，含參的二次函式有三種情形，其一是函式式中含參，其二是定義區間含參；這兩種情形的基本做法都是將函式的對稱軸與定義區間的位置關係進行討論；其三是涉及含參的二次方程的根的分布問題，一般可結合影象研究。
例9. 已知函式的影象與x軸的交點至少有乙個在原點的右側，求實數m的取值範圍。
解：若m＝0，則，顯然滿足條件；若m≠0，有兩種情形：
①原點的兩側各有乙個交點，則
②都在原點的右側，則：
例10. 函式在閉區間[t，t＋1]（t∈r）上的最小值記為g（t）。
（i）試寫出g（t）的函式表示式；
（ii）求出g（t）的最小值。
解：（ii）g（t）min＝－8。
考點九函式與方程思想的考查
例11 （2023年廣東卷）已知是實數，函式，如果函式在區間[－1，1]上有零點，求的取值範圍。
解：函式在區間[－1，1]上有零點，即方程在[－1，1]上有解。當＝0時，不符合題意，所以≠0。
方程在[－1，1]上有解
考點十函式應用題
例12. 某地現有耕地10 000公頃，規劃10年後糧食單產比現在增加22%，人均糧食占有量比現在提高10%。如果人口年增長率為1%，那麼耕地平均每年至多減少多少公頃（精確到1公頃）？
解：設耕地平均每年至多減少x公頃，並設該地區現有人口為p人，糧食單產為m噸/公頃。依題意得人均糧食占有量：
故平均每年至多只能減少4.1公頃。
4、數學思想方法
本模組主要涉及集合及函式的基本概念與性質，以及幾個常見的函式如二次函式與冪、指、對數函式。主要數學思想方法有：
1、函式與方程的思想：
在本模組學習過程中，要充分認識函式與方程內在的聯絡，善於借助這種聯絡，將函式問題轉化為方程問題，或將方程問題轉化為函式問題進行處理。如將方程的根的分布問題與函式的零點的分布問題進行轉化。
2、數形結合的思想：
這既是重要的數學思想，也是一種重要的數學方法。學習中一要注意利用函式影象研究函式性質，二要注意利用函式影象解決有關最值、不等關係、引數範圍等問題。
3、分類討論的思想：對含有參變數的函式或集合的研究往往要進行分類討論，要注意最後結果的表述。一般地，對乙個變數進行討論求解另乙個變數的範圍時，一定要就第乙個變數的不同取值範圍進行分開表述；如果就變數本身進行討論求解其範圍，最後必須對所求範圍進行求並集運算。
【模擬試題】（答題時間：40分鐘）
一、選擇題
1. （2008全國一1）函式的定義域為（ ）
ab.cd.
2. （2008全國一6）若函式的影象與函式的影象關於直線對稱，則（ ）
a. b. c. d.
3. （2008全國一9）設奇函式在上為增函式，且，則不等式的解集為（ ）
ab.c. d.
4. （2008全國二3）函式的影象關於（ ）
a.軸對稱b. 直線對稱
c. 座標原點對稱 d. 直線對稱
5. （2008全國二4）若，則（ ）
ab.＜＜ cd.＜＜
6. （2008北京卷2）若，，，則（ ）
a. bcd.
*7、（2008四川卷11）設定義在上的函式滿足，若，則（ ）
a. b. 2 c
二、填空題
8. （2008湖北卷13）已知函式，，其中，為常數，則方程的解集為
9. （2008重慶卷13）已知（a＞0），則 。
三、解答題
10. （2008湖南捲改）已知函式
①若a＞0，求的定義域；
②若在區間上是減函式，求實數a的取值範圍。
11. （2008浙江捲改）已知t為常數，函式在區間[0，3]上的最大值為2，求實數t。
12. （2008北京捲改）某校數學課外小組在座標紙上為學校的一塊空地設計植樹方案如下：第棵樹種植在點處，其中，，當時， 表示非負實數的整數部分，例如，。
按此方案，求第6棵樹種植點的座標和第2008棵樹種植點的座標 。
*13. （2008湖北卷）
水庫的蓄水量隨時間而變化，現用表示時間，以月為單位，年初為起點，根據歷年資料，某水庫的蓄水量（單位：億立方公尺）關於的近似函式關係式為
（ⅰ）該水庫的蓄水量小於50的時期稱為枯水期。以表示第i月份（），問一年內哪幾個月份是枯水期？
（ⅱ）求一年內該水庫的最大蓄水量（取計算）。
試題答案
一、選擇題：
1~7 cbdc cac
二、填空題
8、9、4
三、解答題
10、①；②；
11、t＝1;
12、第6棵樹種植點的座標應為；第2008棵樹種植點的座標應為 。
13、解：（ⅰ）①當0＜t10時，v（t）＝（－t2＋14t－40）化簡得t2－14t＋40＞0，
解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4。
②當10＜t12時，v（t）＝4（t－10）（3t－41）＋50＜50，
化簡得（t－10）（3t－41）＜0，
解得10＜t＜，又10＜t12，故 10＜t12。
綜合得0＜t＜4，或10＜t≤12，
故知枯水期為1月，2月，3月，11月，12月共5個月。
（ⅱ）由（ⅰ）知：v（t）的最大值只能在非枯水期（4，10）內達到。
又因為v（t）＝（－t2＋14t－40）＋50＝＋50
經計算，當v（t）在t＝8時取得最大值v（8）＝8e2＋50＝108.32（億立方公尺）。
故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方公尺（注：本題第二問此處用了計算比較的方法，計算量比較大，但同學們可在以後的學習中得到更好的解法）。
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