第一講集合
1．設集合p=，q=，定義p★q=,b=,且a∪b=r，則實數a的取值範圍 m。
11.（2009北京文）設a是整數集的乙個非空子集，對於，如果且，那麼是a的乙個「孤立元」，給定，由s的3個元素構成的所有集合中，不含「孤立元」的集合共有個.
12（2009天津卷文）設全集，若，則集合b
13．已知集合a＝，b＝．
⑴當a＝2時，求ab；
⑵求使ba的實數a的取值範圍．
14. ,．
（1），求的值；
（2），且，求的值；
（3），求的值；
15., ,，且，，求，的值.
16．已知下列集合：
（1）；
（2）；
（3）(4)問：（ⅰ）用列舉法表示上述各集合；
（ⅱ）對集合，，，如果使kz,那麼，，所表示的集合分別是什麼？並說明與的關係．
17．（1）設，．求，，．
（2）設集合，，若．求的取值範圍．
第二講求值域十二法
求函式的值域或最值是高中數學基本問題之一，也是考試的熱點和難點之一。遺憾的是教材中僅有少量求定義域的例題、習題，而求值域或最值的例題、習題則是少得屈指可數。原因可能是求函式的值域往往需要綜合用到眾多的知識內容，技巧性強，有很高的難度，因此求函式的值域或最值的方法需要我們在後續的學習中逐步強化。
本文談一些求函式值域的方法，僅作拋磚引玉吧。
一、 基本知識
1． 定義：因變數y的取值範圍叫做函式的值域（或函式值的集合）。
2． 函式值域常見的求解思路：
．劃歸為幾類常見函式，利用這些函式的圖象和性質求解。
．反解函式，將自變數x用函式y的代數式形式表示出來，利用定義域建立函式y的不等式，解不等式即可獲解。
．可以從方程的角度理解函式的值域，如果我們將函式看作是關於自變數的方程，在值域中任取乙個值，對應的自變數一定為方程在定義域中的乙個解，即方程在定義域內有解；另一方面，若取某值，方程在定義域內有解，則一定為對應的函式值。從方程的角度講，函式的值域即為使關於的方程在定義域內有解的得取值範圍。
特別地，若函式可看成關於的一元二次方程，則可通過一元二次方程在函式定義域內有解的條件，利用判別式求出函式的值域。
．可以用函式的單調性求值域。
．其他。
3． 函式值域的求法
在以上求解思路的引導下，又要注意以下的常見求法和技巧：
．觀察法；．最值法；．判別式法；．反函式法；．換元法；．復合函式法；．利用基本不等式法；．利用函式的單調性；．利用三角函式的有界性；．圖象法；．配方法；．構造法。
二、 舉例說明
．觀察法：由函式的定義域結合圖象，或直觀觀察，準確判斷函式值域的方法。
例1：求函式的值域
例2：求函式的值域
．最值法：對於閉區間上的連續函式，利用函式的最大值、最小值求函式的值域的方法。
例3：求函式，的值域
例4：求函式的值域
．判別式法：通過二次方程的判別式求值域的方法。
例5：求函式的值域
．反函式法：利用求已知函式的反函式的定義域，從而得到原函式的值域的方法。
例6：求函式的值域
例7：求函式，的值域
．換元法：通過對函式恒等變形，將函式化為易求值域的函式形式來求值域的方法。
例8：求函式的值域
．復合函式法：對函式，先求的值域充當的定義域，從而求出的值域的方法。
例9：求函式的值域
．利用基本不等式求值域：
例10：求函式的值域
例11：求函式的值域
．利用函式的單調性：
例12：求函式的值域。
提示：，，∴都是增函式，故是減函式，因此當時，，又∵，∴。
例13：求函式的值域。
略解：易知定義域為，而在上均為增函式，∴，故
．利用三角函式的有解性：
例14：求函式的值域
例15：求函式的值域
．圖象法：如果可能做出函式的圖象，可根據圖象直觀地得出函式的值域（求某些分段函式的值域常用此方法）。
例16：求函式的值域
求函式值域方法很多，常用的有以上這些，這些方法分別具有極強的針對性，每一種方法又不是萬能的。要順利解答求函式值域的問題，必須熟練掌握各種技能技巧。
．配方法：當所給函式是二次函式或可化為二次函式的復合函式時,可以利用配方法求函式值域。
例17：求函式的值域。
點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函式的最值求。
解：由,可知函式的定義域為x∈[－1，2]。此時
∴,函式的值域是。
．構造法：根據函式的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。
例18：求函式的值域。
點撥：將原函式變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函式的值域。
解：原函式變形為
作乙個長為4、寬為3的矩形abcd，再切割成12個單位
正方形。設hk=,則ek=2,kf=2,ak=,
kc= 。
由三角形三邊關係知，ak+kc≥ac=5。當a、k、c三點共
線時取等號。
∴原函式的知域為｛y|y≥5｝。
第三講函式的單調性和奇偶性
[例1] 如果函式在上是減函式，求a的取值範圍。
[例2] 判斷函式（）在r上的單調性
[例3 ] 已知函式，在r上是增函式，求證：在r上也是增函式。
[例4] 求函式的單調區間
[例5] 判斷下列函式是否具有奇偶性
（1）（2）
（3）（4）
（5）[例6] 函式在上為奇函式，且當時，，則當時，求的解析式。
[例7] 設為奇函式，且在定義域上為減函式，求滿足的實數a的取值範圍。
[例8] 設是定義在上的增函式，且，求滿足不等式的的取值範圍。
第四講指數函式
例1 求函式y＝()的單調增區間和單調減區間．
解：令y＝f(x)＝()，則函式f(x)可以看作函式y＝()t與函式t＝x2－2x的復合函式．
因為y＝()t在(－∞，＋∞)上是減函式，
函式t＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是單調減函式，在[1，＋∞)上單調增函式，
所以函式f(x)＝()的單調增區間是(－∞，1]；單調減區間是[1，＋∞)．
注：(1)利用復合函式的方法確定函式單調性的關鍵是弄清已知函式是由哪幾個基本函式的復合而成的．
(2)復合函式單調性的判定的結論：同增異減．當然這一結論解決填空題或選擇題時，直接使用，如果是解答題，必需使用函式單調性的定義進行證明．
(3)本題可進一步研究：函式f(x)＝()的值域如何求？
由上面的結論可知：
t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以0＜f(x)≤2，當且僅當x＝1時，f(x)＝2，
因此，函式f(x)＝()的值域為(0，2]．
注意：必須注意f(x)＝()＞0．
例2 判斷函式f(x)＝ax＋a－x(a＞0，且a≠1)的奇偶性，並證明之．
解函式f(x)的定義域是r．
由於對定義域內任意x，都有
f(－x)＝a－x＋ax＝f(x)，
所以函式f(x)＝ax＋a－x是偶函式．
解：(1)因為對人任意x∈r，3x＋1≠0，
所以函式f(x)的定義域是r．
(2)因為y＝f(x)＝＝1－
設t＝3x，則y＝g(t)＝1－(t＞0)．
設0＜t1＜t2，則
y1－y2＝－＝＜0，
所以函式y＝g(t)是(0，＋∞)上的增函式．
所以y＞1－＝－1．
所以f(x)的值域是(－1，＋∞)．
注意：可畫出函式y＝g(t)(t＞0)的圖象，由圖象得y＞－1．
(安排此問題是為了讓學生通過，1－這兩個形式之間的轉化，為下面兩個函式的性質做鋪墊)
(3)提問：計算f(－x)應該用，1－哪一種形式計算更為方便呢？
對於任意x∈r，都有
f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，
所以f(x)＝是奇函式．
(4)提問：計算f(x1)－f(x2)應該用，1－哪一種形式計算更為方便呢？
對於r上任意兩個值x1，x2，設x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝(1－)－(1－)
＝－＝，
因為x1＜x2，y＝3x是單調增函式，
所以3＜3，所以3－3＜0．
又因為 3＋1＞0，3＋1＞0，
所以 f(x1)－f(x2)＜0，
即 f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)＝是r上的單調增函式．
總結對於f(x)＝(a＞0，且a≠1)的單調性和奇偶性的研究，應該具體問題具體分析．
第五講巧解y=f(ax+b)函式的解析式和定義域
有很多同學在求復合函式的解析式和函式的定義域時，有時感覺步驟太多，不願求，或很容易求錯。現在介紹一種簡便的方法供同學們參考。
一、 求復合函式的解析式
1、 已知f(2x－1)=3x2-4x+3,求f(x+3)的解析式
一般的方法是先利用換元法求出f(x)的解析式，再利用f(x)的解析式求f(x+3)的解析式。
北師大版高一數學必修一之函式
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