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個性化輔導講義
科目： 高一數學
題目： 空間幾何體
年級： 高一
教師： ken
授課日期
一、平面的基本性質
公理1：如果一條直線上有兩點在乙個平面內，那麼直線在平面內。
用途：常用於證明直線在平面內.
公理2：不共線的三點確定乙個平面.
推論1：直線與直線外的一點確定乙個平面.
推論2：兩條相交直線確定乙個平面.
推論3：兩條平行直線確定乙個平面.
用途：用於確定平面。
公理3：如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們還有公共點，這些公共點的集合是一條直線（兩個平面的交線）.
用途：常用於證明線在麵內，證明點**上.
例1 如圖10，用符號語言表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關係.
圖10解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=a,a∩β=b. 在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=p,b∩l=p.
練習：1.畫圖表示下列由集合符號給出的關係：
(1)a∈α,bα,a∈l,b∈l;
(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=p,α∩β=c.
解：如圖11.
圖112.根據下列條件，畫出圖形.
（1）平面α∩平面β=l，直線abα，ab∥l，e∈ab，直線ef∩β=f，fl;
（2）平面α∩平面β=a，△abc的三個頂點滿足條件:a∈a，b∈α，ba，c∈β，ca.
答案：如圖12.
圖12例2 已知直線a和直線b相交於點a.求證：過直線a和直線b有且只有乙個平面.
圖13證明：如圖13,點a是直線a和直線b的交點,在a上取一點b，b上取一點c，
根據公理2經過不在同一直線上的三點a、b、c有乙個平面α，
因為a、b在平面α內，根據公理1，直線a在平面α內,
同理直線b在平面α內，即平面α是經過直線a和直線b的平面.
又因為a、b在a上，a、c在b上，所以經過直線a和直線b的平面一定經過點a、b、c.
於是根據公理2，經過不共線的三點a、b、c的平面有且只有乙個，
所以經過直線a和直線b的平面有且只有乙個.
練習：求證：兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內.
證明：如圖14，直線a、b、c、d兩兩相交，交點分別為a、b、c、d、e、f,
圖14∵直線a∩直線b=a,∴直線a和直線b確定平面設為α，即a,bα.
∵b、c∈a，e、f∈b,∴b、c、e、f∈α.
而b、f∈c，c、e∈d,∴c、dα,
即a、b、c、d在同一平面內.
例2 如圖15，已知α∩β=ef,a∈α,c、b∈β,bc與ef相交，在圖中分別畫出平面abc與α、β的交線.
圖15解：如圖16所示，連線cb，
∵c∈β,b∈β,∴直線cbβ.
圖16∵直線cb平面abc，∴β∩平面abc=直線cb.設直線cb與直線ef交於d,
∵α∩β=ef,∴d∈α,d∈平面abc.∵a∈α,a∈平面abc，∴α∩平面abc=直線ad.
練習：1.如圖17，ad∩平面α=b,ae∩平面α=c，請畫出直線de與平面α的交點p，並指出點p與直線bc的位置關係.
圖17解：ad和ac是相交直線，它們確定乙個平面abc，它與平面α的交線為直線bc，de平面abc，
∴de與α的交點p在直線bc上.
2.如圖18，正方體abcd—a1b1c1d1的稜長為8 cm，m、n、p分別是ab、a1d1、bb1的中點，
圖18(1)畫出過m、n、p三點的平面與平面a1b1c1d1的交線，以及與平面bb1c1c的交線.
(2)設過m、n、p三點的平面與b1c1交於點q，求pq的長.
解：(1)設m、n、p三點確定的平面為α，則α與平面aa1b1b的交線為直線mp，設mp∩a1b1=r，則rn是α與平面a1b1c1d1的交線，設rn∩b1c1=q，連線pq，則pq是所要畫的平面α與平面bb1c1c的交線.如圖18.
(2)正方體稜長為8 cm，b1r=bm=4 cm，又a1n=4 cm，b1q=a1n,
∴b1q=×4=（cm）.在△pb1q中，b1p=4 cm，b1q=cm，
∴pq=cm.
例3 已知△abc三邊所在直線分別與平面α交於p、q、r三點，求證：p、q、r三點共線.
解：如圖19,∵a、b、c是不在同一直線上的三點,
圖19∴過a、b、c有乙個平面β.又∵ab∩α=p，且abβ,
∴點p既在β內又在α內.設α∩β=l,則p∈l,同理可證：q∈l,r∈l,
∴p、q、r三點共線.
練習： 三個平面兩兩相交於三條直線，若這三條直線不平行，求證：這三條直線交於一點.
已知平面α、β、γ兩兩相交於三條直線l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.
求證：l1、l2、l3相交於一點.
證明：如圖20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，
圖20∵l1β，l2β，且l1、l2不平行,∴l1與l2必相交.設l1∩l2=p，則p∈l1α,p∈l2γ,
∴p∈α∩γ=l3.∴l1、l2、l3相交於一點p.
二、空間圖形的位置關係
1.空間直線的位置關係：
平行線的傳遞公理：平行於同一條直線的兩條直線互相平行。符號表述：
等角定理：如果乙個角的兩邊與另乙個角的兩邊分別平行，那麼這兩個角相等或互補。
異面直線：：不同在任何乙個平面內的兩條直線——異面直線；
異面直線所成的角：（1）範圍：；（2）作异面直線所成的角：平移法.
例1 如圖6，空間四邊形abcd中，e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da的中點.
圖6求證：四邊形efgh是平行四邊形.
證明：連線eh，因為eh是△abd的中位線，所以eh∥bd，且eh=.
同理，fg∥bd，且fg=.
所以eh∥fg，且eh=fg.所以四邊形efgh為平行四邊形.
練習：1.如圖6，空間四邊形abcd中，e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da的中點且ac=bd.
求證：四邊形efgh是菱形.
證明：連線eh，因為eh是△abd的中位線，所以eh∥bd，且eh=.
同理，fg∥bd，ef∥ac，且fg=,ef=.
所以eh∥fg，且eh=fg.所以四邊形efgh為平行四邊形.
因為ac=bd,所以ef=eh.
所以四邊形efgh為菱形.
2.如圖6，空間四邊形abcd中，e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da的中點且ac=bd，ac⊥bd.
求證：四邊形efgh是正方形.
證明：連線eh，因為eh是△abd的中位線，
所以eh∥bd，且eh=.
同理，fg∥bd，ef∥ac，且fg=，ef=.
所以eh∥fg，且eh=fg.所以四邊形efgh為平行四邊形.
因為ac=bd，所以ef=eh.
因為fg∥bd，ef∥ac，所以∠feh為兩異面直線ac與bd所成的角.又因為ac⊥bd，所以ef⊥eh.
所以四邊形efgh為正方形.
例2 如圖7，已知正方體abcd—a′b′c′d′.
圖7(1)哪些稜所在直線與直線ba′是異面直線？
(2)直線ba′和cc′的夾角是多少？
(3)哪些稜所在直線與直線aa′垂直？
解：(1)由異面直線的定義可知，稜ad、dc、cc′、dd′、d′c′、b′c′所在直線分別與ba′是異面直線.
(2)由bb′∥cc′可知，∠b′ba′是異面直線ba′和cc′的夾角，∠b′ba′=45°，所以直線ba′和cc′的夾角為45°.
（3）直線ab、bc、cd、da、a′b′、b′c′、c′d′、d′a′分別與直線aa′垂直.
練習： 如圖8，已知正方體abcd—a′b′c′d′.
圖8（1）求異面直線bc′與a′b′所成的角的度數；
(2)求異面直線cd′和bc′所成的角的度數.
解：（1）由a′b′∥c′d′可知，∠bc′d′是異面直線bc′與a′b′所成的角，
∵bc′⊥c′d′，∴異面直線bc′與a′b′所成的角的度數為90°.
（2）連線ad′,ac,由ad′∥bc′可知，∠ad′c是異面直線cd′和bc′所成的角，
∵△ad′c是等邊三角形.
∴∠ad′c=60°，即異面直線cd′和bc′所成的角的度數為60°.
例3 在長方體abcd—a1b1c1d1中，e、f分別是稜aa1和稜cc1的中點.
求證：eb1∥df，ed∥b1f.
證明：如圖9，設g是dd1的中點，分別連線eg，gc1.
圖9∵ega1d1，b1c1a1d1,
∴egb1c1.四邊形eb1c1g是平行四邊形,
∴eb1gc1.
同理可證dfgc1，∴eb1df.
∴四邊形eb1fd是平行四邊形.
∴ed∥b1f.
練習： 如圖10，在正方體abcd—a1b1c1d1中，e、f分別是aa1、ab的中點，試判斷下列各對線段所在直線的位置關係：
圖10（1）ab與cc1；
（2）a1b1與dc；
（3）a1c與d1b；
（4）dc與bd1；
（5）d1e與cf.
解：（1）∵c∈平面abcd，ab平面abcd，又cab，c1平面abcd,∴ab與cc1異面.
（2）∵a1b1∥ab，ab∥dc，∴a1b1∥dc.
（3）∵a1d1∥b1c1，b1c1∥bc，∴a1d1∥bc，則a1、b、c、d1在同一平面內.
∴a1c與d1b相交.
（4）∵b∈平面abcd，dc平面abcd，又bdc，d1平面abcd,∴dc與bd1異面.
（5）如圖10，cf與da的延長線交於g，連線d1g，
∵af∥dc，f為ab中點，∴a為dg的中點.
又ae∥dd1，
∴gd1過aa1的中點e.∴直線d1e與cf相交.
例4 如圖11，點a是bcd所在平面外一點，ad=bc，e、f分別是ab、cd的中點，且ef=ad，求異面直線ad和bc所成的角.
圖11解：設g是ac中點，連線eg、fg.
因e、f分別是ab、cd中點，故eg∥bc且eg=，fg∥ad，且fg=.由異面直線所成角定義可知eg與fg所成銳角或直角為異面直線ad、bc所成角，即∠egf為所求.
由bc=ad知eg=gf=，又ef=ad,由勾股定理可得∠egf=90°.
練習：1.設空間四邊形abcd，e、f、g、h分別是ac、bc、db、da的中點，若ab=，cd=，且hg·he·sin∠ehg=，求ab和cd所成的角.
點線面的性質及位置關係
一 基礎知識 1.幾個公理和推論 7.兩直線的位置關係 8.直線與平面的位置關係 直線l與平面 9.兩平面的位置關係 平面 與 二 例題 1 在空間中可以確定乙個平面的條件是 a.兩兩相交的三條直線 b.三條直線，其中一條和另兩條分別相交 c.三個點d.三條直線，兩兩相交，但不交於同一點 2 已知m...
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