點線面位置關係複習
● 知識梳理
一、直線與平面平行
1.判定方法
（1）定義法：直線與平面無公共點。
（2）判定定理：
（3）其他方法：
2.性質定理：
二、平面與平面平行
1.判定方法
（1）定義法：兩平面無公共點。
（2）判定定理：
（3）其他方法
2.性質定理：
三、直線與平面垂直
（1）定義：如果一條直線與乙個平面內的所有直線都垂直，則這條直線和這個平面垂直。
（2）判定方法
1 用定義.
2 判定定理:
3 推論:
（3）性質
四、平面與平面垂直
（1）定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直線二面角，就說這兩個平面互相垂直。
（2）判定定理
（3）性質
①性質定理
②4● 「轉化思想」
面面平行線面平行線線平行
面面垂直線面垂直線線垂直
練習鞏固：
一、選擇題
1．設 ， 為兩個不同的平面，l，m為兩條不同的直線，且l ，m，有如下的兩個命題：①若 ∥ ，則l∥m；②若l⊥m，則 ⊥ ．那麼( )．
a．①是真命題，②是假命題 b．①是假命題，②是真命題
c．①②都是真命題 d．①②都是假命題
2．如圖，abcd－a1b1c1d1為正方體，下面結論錯誤的是( )．
a．bd∥平面cb1d1 b．ac1⊥bd
c．ac1⊥平面cb1d1 d．異面直線ad與cb1角為60°
3．關於直線m，n與平面 ， ，有下列四個命題：
①m∥ ，n∥ 且 ∥ ，則m∥nm⊥ ，n⊥ 且 ⊥ ，則m⊥n；
③m⊥ ，n∥ 且 ∥ ，則m⊥nm∥ ，n⊥ 且 ⊥ ，則m∥n．
其中真命題的序號是( )．
abcd．②③
4．給出下列四個命題：
①垂直於同一直線的兩條直線互相平行
②垂直於同一平面的兩個平面互相平行
③若直線l1，l2與同一平面所成的角相等，則l1，l2互相平行
④若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線
其中假命題的個數是( )．
a．1b．2c．3d．4
5．下列命題中正確的個數是( )．
①若直線l上有無數個點不在平面內，則l∥
②若直線l與平面平行，則l與平面內的任意一條直線都平行
③如果兩條平行直線中的一條直線與乙個平面平行，那麼另一條直線也與這個平面平行
④若直線l與平面平行，則l與平面內的任意一條直線都沒有公共點
a．0個b．1個c．2個d．3個
6． 兩直線l1與l2異面，過l1作平面與l2平行，這樣的平面( )．
a．不存在b．有唯一的乙個 c．有無數個d．只有兩個
7．把正方形abcd沿對角線ac折起，當以a，b，c，d四點為頂點的三稜錐體積最大時，直線bd和平面abc所成的角的大小為( )．
a．90b．60c．45d．30°
8．下列說法中不正確的是( )．
a．空間中，一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形
b．同一平面的兩條垂線一定共面
c．過直線上一點可以作無數條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同乙個平面內
d．過一條直線有且只有乙個平面與已知平面垂直
9．給出以下四個命題：
①如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的乙個平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行
②如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面
③如果兩條直線都平行於乙個平面，那麼這兩條直線互相平行
④如果乙個平面經過另乙個平面的一條垂線，那麼些兩個平面互相垂直
其中真命題的個數是( )．
a．4b．3c．2d．1
10．異面直線a，b所成的角60°，直線a⊥c，則直線b與c所成的角的範圍為( )．
a．[30°，90°] b．[60°，90c．[30°，60d．[30°，120°]
二、填空題
11．已知三稜錐p－abc的三條側稜pa，pb，pc兩兩相互垂直，且三個側面的面積分別為s1，s2，s3，則這個三稜錐的體積為
12．如圖，在正三角形abc中，d，e，f分別為各邊的中點，g，h，i，j分別為af，ad，be，de的中點，將△abc沿de，ef，df折成三稜錐以後，gh與ij所成角的度數為 ．
13．直線l與平面所成角為30°，l∩ ＝a，直線m∈ ，則m與l所成角的取值範圍是 ．
14．稜長為1的正四面體內有一點p，由點p向各面引垂線，垂線段長度分別為d1，d2，d3，d4，則d1＋d2＋d3＋d4的值為
三、解答題
15．在四面體abcd中，△abc與△dbc都是邊長為4的正三角形．
(1)求證：bc⊥ad；
(2)若點d到平面abc的距離等於3，求二面角a－bc－d的正弦值；
(3)設二面角a－bc－d的大小為 ，猜想為何值時，四面體a－bcd的體積最大．(不要求證明)
16． 如圖，在長方體abcd—a1b1c1d1中，ab＝2，bb1＝bc＝1，e為d1c1的中點，鏈結ed，ec，eb和db．
(1)求證：平面edb⊥平面ebc；
(2)求二面角e－db－c的正切值.
答案：一、選擇題
1．d 解析：命題②有反例，如圖中平面 ∩平面 ＝直線n，
l ，m ，且l∥n，m⊥n，則m⊥l，顯然平面不垂直平面第1題)
故②是假命題；命題①顯然也是假命題，
2．d解析：異面直線ad與cb1角為45°．
3．d解析：在①、④的條件下，m，n的位置關係不確定．
4．d解析：利用特殊圖形正方體我們不難發現①②③④均不正確，故選擇答案d．
5．b解析：學會用長方體模型分析問題，a1a有無數點在平面abcd外，但aa1與平面abcd相交，①不正確；a1b1∥平面abcd，顯然a1b1不平行於bd，②不正確；a1b1∥ab，a1b1∥平面abcd，但ab平面abcd內，③不正確；l與平面α平行，則l與無公共點，l與平面內的所有直線都沒有公共點，④正確，應選b第5題)
6．b解析：設平面過l1，且 l2∥ ，則 l1上一定點 p 與 l2 確定一平面 ， 與的交線l3∥l2，且 l3 過點 p. 又過點 p 與 l2 平行的直線只有一條，即 l3 有唯一性，所以經過 l1 和 l3 的平面是唯一的，即過 l1 且平行於 l2 的平面是唯一的.
7．c解析：當三稜錐d－abc體積最大時，平面dac⊥abc，取ac的中點o，則△dbo是等腰直角三角形，即∠dbo＝45°．
8．d解析：a．一組對邊平行就決定了共面；b．同一平面的兩條垂線互相平行，因而共面；c．這些直線都在同乙個平面內即直線的垂面；d．把書本的書脊垂直放在桌上就明確了．
9．b解析：因為①②④正確，故選b．
10．a解析：異面直線，所成的角為60°，直線⊥，過空間任一點 p，作直線 a』∥a， b』∥b， c』∥c. 若a』，b』，c』 共面則 b』 與 c』 成 30° 角，否則』 與』 所成的角的範圍為(30°，90°]，所以直線b與c所成角的範圍為[30°，90°] ．
二、填空題
11． ．解析：設三條側稜長為 a，b，c．則ab＝s1， bc＝s2， ca＝s3 三式相乘：
∴a2 b2 c2＝s1s2s3，∴ abc＝2．∵ 三側稜兩兩垂直，∴ v＝abc·＝．
12．60°．解析：將△abc沿de，ef，df折成三稜錐以後，gh與ij所成角的度數為60°．
13．[30°，90°]．解析：直線l與平面所成的30°的角為m與l所成角的最小值，當m在內適當旋轉就可以得到l⊥m，即m與l所成角的的最大值為90°．
14．．解析：作等積變換：×(d1＋d2＋d3＋d4)＝·h，而h＝．
三、解答題
15．證明：(1)取bc中點o，鏈結ao，do．
∵△abc，△bcd都是邊長為4的正三角形，
∴ao⊥bc，do⊥bc，且ao∩do＝o，
∴bc⊥平面aod．又ad平面aod，
∴bc⊥ad第17題)
解：(2)由(1)知∠aod為二面角a－bc－d的平面角，設∠aod＝ ，則過點d作de⊥ad，垂足為e．
∵bc⊥平面ado，且bc平面abc，
∴平面ado⊥平面abc．又平面ado∩平面abc＝ao，
∴de⊥平面abc．
∴線段de的長為點d到平面abc的距離，即de＝3．
又do＝bd＝2，
在rt△deo中，sin ＝＝，
故二面角a－bc－d的正弦值為．
(3)當 ＝90°時，四面體abcd的體積最大．
16．證明：(1)在長方體abcd－a1b1c1d1中，ab＝2，bb1＝bc＝1，e為d1c1的中點．∴△dd1e為等腰直角三角形，∠d1ed＝45°．同理∠c1ec＝45°．∴，即de⊥ec．
在長方體abcd－中，bc⊥平面，又de平面，
∴bc⊥de．又，∴de⊥平面ebc．∵平面deb過de，∴平面deb⊥平面ebc．
(2)解：如圖，過e在平面中作eo⊥dc於o．在長方體abcd－中，∵面abcd⊥面，∴eo⊥面abcd．過o在平面dbc中作of⊥db於f，鏈結ef，∴ef⊥bd．∠efo為二面角e－db－c的平面角．利用平面幾何知識可得of＝，
又oe＝1，所以，tanefo＝．
點線面關係知識總結和練習題有答案
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