點線面位置關係總複習
● 知識梳理
一、直線與平面平行
1.判定方法
（1）定義法：直線與平面無公共點。
（2）判定定理：
（3）其他方法：
2.性質定理：
二、平面與平面平行
1.判定方法
（1）定義法：兩平面無公共點。
（2）判定定理：
（3）其他方法
2.性質定理：
三、直線與平面垂直
（1）定義：如果一條直線與乙個平面內的所有直線都垂直，則這條直線和這個平面垂直。
（2）判定方法
1 用定義.
2 判定定理:
3 推論:
（3）性質
四、平面與平面垂直
（1）定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直線二面角，就說這兩個平面互相垂直。
（2）判定定理
（3）性質
①性質定理
②4● 「轉化思想」
面面平行線面平行線線平行
面面垂直線面垂直線線垂直
● 求二面角
1.找出垂直於稜的平面與二面角的兩個面相交的兩條交線,它們所成的角就是二面角的平面角.
2.在二面角的稜上任取一點o，在兩半平面內分別作射線oa⊥l，ob⊥l，則∠aob叫做二面角的平面角
例1．如圖，在三稜錐s-abc中，sa底面abc，abbc，de垂直平分sc，且分別交ac於d，交sc於e，又sa=ab，sb=bc，求以bd為稜，以bde和bdc為面的二面角的度數。
● 求線面夾角
定義：斜線和它在平面內的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）
方法：作直線上任意一點到面的垂線，與線面交點相連，利用直角三角形有關知識求得三角形其中一角就是該線與平面的夾角。
例1：在稜長都為1的正三稜錐s－abc中，側稜sa與底面abc所成的角是________．
例2：在正方體abcd－a1b1c1d1中，
①bc1與平面ab1所成的角的大小是
②bd1與平面ab1所成的角的大小是
③cc1與平面bc1d所成的角的大小是
5 bc1與平面a1bcd1所成的角的大小是
6 bd1與平面bc1d所成的角的大小是
例3：已知空間內一點o出發的三條射線oa、ob、oc兩兩夾角為60°，試求oa與平面boc所成的角的大小．
● 求線線距離
說明：求異面直線距離的方法有：
(1)（直接法）當公垂線段能直接作出時，直接求．此時，作出並證明異面直線的公垂線段，是求異面直線距離的關鍵．
(2)**化法）把線線距離轉化為線面距離，如求異面直線、距離，先作出過且平行於的平面，則與距離就是、距離．（線面轉化法）．
也可以轉化為過平行的平面和過平行於的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線距離．（面面轉化法）．
(3)（體積橋法）利用線面距再轉化為錐體的高用何種公式來求．
(4)（建構函式法）常常利用距離最短原理構造二次函式，利用求二次函式最值來解．
兩條異面直線間距離問題，教科書要求不高（要求會計算已給出公垂線時的距離），這方面的問題的其他解法，要適度接觸，以開闊思路，供學有餘力的同學探求．
例：在稜長為的正方體中，求異面直線和之間的距離。
● 線面平行（包括線面距離）
例：已知點是正三角形所在平面外的一點，且，為上的高，、、分別是、、的中點，試判斷與平面內的位置關係，並給予證明
● 面面平行（包括面面距離）
例1：已知正方體求證
例2：在稜長為的正方體中，求異面直線和之間的距離．
● 面面垂直
例1：已知直線pa垂直正方形abcd所在的平面，a為垂足。求證：平面pac平面pbd。
例2：已知直線pa垂直於o所在的平面，a為垂足，ab為o的直徑，c是圓周上異於a、b的一點。求證：平面pac平面pbc。
● 課後作業：
一、選擇題
1.教室內任意放一支筆直的鉛筆，則在教室的地面上必存在直線與鉛筆所在的直線( )
a.平行b.相交
c.異面d.垂直
2.若m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是( )
a.若mβ，α⊥β，則m⊥α
b.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β
c.若m⊥β，m∥α，則α⊥β
d.若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ
3.(改編題)設p是△abc所在平面外一點，p到△abc各頂點的距離相等，而且p到△abc各邊的距離也相等，那麼△abc( )
a.是非等腰的直角三角形
b.是等腰直角三角形
c.是等邊三角形
d.不是a、b、c所述的三角形
4.把等腰直角△abc沿斜邊上的高ad折成直二面角b—ad—c，則bd與平面abc所成角的正切值為 ( )
a. b. c.1 d.
5.如圖，已知△abc為直角三角形，其中∠acb＝90°，m為ab的中點，pm垂直於△acb所在平面，那麼( )
a.pa＝pb>pc
b.pa＝pbc.pa＝pb＝pc
d.pa≠pb≠pc
二、填空題：
6. 正四稜錐s—abcd的底面邊長為2，高為2，e是邊bc的中點，動點p在表面上運動，並且總保持pe⊥ac，則動點p的軌跡的周長為 .
7. α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三個論斷作為條件，餘下乙個論斷作為結論，寫出你認為正確的乙個命題： .
三、解答題
11.如圖(1)，等腰梯形abcd中，ad∥bc，ab＝ad，∠abc＝60°，e是bc的中點，如圖(2)，將△abe沿ae折起，使二面角b—ae—c成直二面角，連線bc，bd，f是cd的中點，p是稜bc的中點.
(1)求證：ae⊥bd；
(2)求證：平面pef⊥平面aecd；
(3)判斷de能否垂直於平面abc？並說明理由.
12.12.如圖所示，已知△bcd中，∠bcd＝90°，bc＝cd＝1，ab⊥平面bcd，∠adb＝60°，e、f分別是ac、ad上的動點，且＝＝λ(0<λ<1).
(1)求證：不論λ為何值，總有平面bef⊥平面abc；
(2)當λ為何值時，平面bef⊥平面acd？
13.如圖，在矩形abcd中，ab＝2bc，p、q分別為線段ab、cd的中點，ep⊥平面abcd.
(1)求證：dp⊥平面epc；
(2)問在ep上是否存在點f使平面afd⊥平面bfc？若存在，求出的值.
參***
● 求二面角
分析:找二面角的平面角,有一種方法是找出垂直於稜的平面與二面角的兩個面相交的兩條交線,它們所成的角就是二面角的平面角.
解：在rtδsac中，sa=1，sc=2，
∴∠eca=30，
在rtδdec中，∠dec=90，
∴∠edc=60，
∴ 所求的二面角為60。
● 求線線距離
解法1：（直接法）如圖：
取的中點，鏈結、分別交、於、兩點，
易證：，，．
∴為異面直線與的公垂線段，易證：．
小結：此法也稱定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來解．但通常尋找公垂線段時，難度較大．
解法2：**化法）如圖：
∵平面，
∴與的距離等於與平面的距離，
在中，作斜邊上的高，則長為所求距離，
∵，，∴，∴．
小結：這種解法是將線線距離轉化為線面距離．
解法3：**化法）如圖：
∵平面平面，
∴與的距離等於平面與平面的距離．
∵平面，且被平面和平面三等分；
∴所求距離為．
小結：這種解法是線線距離轉化為麵麵距離．
解法4：（建構函式法）如圖：
任取點，作於點，作於點，設，
則，，且∴．則
，故的最小值，即與的距離等於．
小結：這種解法是恰當的選擇未知量，構造乙個目標函式，通過求這個函式的最小值來得到二異面直線之間的距離．
解法5：（體積橋法）如圖：
當求與的距離轉化為求與平面的距離後，設點到平面的距離為，
則．∵，
∴．即與的距離等於．
小結：本解法是將線線距離轉化為線面距離，再將線面距離轉化為錐體化為錐體的高，然後用體積公式求之．這種方法在後面將要學到．
● 線面平行
例：分析1：如圖，觀察圖形，即可判定平面，要證明結論成立，只需證明與平面內的一條直線平行．
觀察圖形可以看出：鏈結與相交於，鏈結，就是適合題意的直線．
怎樣證明？只需證明是的中點．
證法1：鏈結交於點，
∵是的中位線，
∴．在中，是的中點，且，
∴為的中點．
∵是的中位線，∴．
又平面，平面，
∴平面．
分析2：要證明平面，只需證明平面平面，要證明平面平面，只需證明，而，可由題設直接推出．
證法2：∵為的中位線，
∴．∵平面，平面，
∴平面．
同理：平面，，
∴平面平面，又∵平面，
∴平面．
● 面面平行
例一：證明：∵為正方體，
∴， 又平面，
故平面．
同理平面．
又，∴ 平面平面．
例二：根據正方體的性質，易證：
鏈結，分別交平面和平面於和
因為和分別是平面的垂線和斜線，在平面內，
由三垂線定理：，同理：
∴平面，同理可證：平面
∴平面和平面間的距離為線段長度．
如圖所示：
在對角麵中，為的中點，為的中點
∴．∴和的距離等於兩平行平面和的距離為．
● 面面垂直
例1：例2：
作業：一、選擇題：
1. d 2. c 3. c 4. b 5. c
6.解析：如圖，取cd的中點f、sc的中點g，連線ef，eg，fg，ef交ac於點h，易知ac⊥ef，又gh∥so，
∴gh⊥平面abcd，
∴ac⊥gh，∴ac⊥平面efg，
故點p的軌跡是△efg，
其周長為＋.
答案：＋7
點線面關係知識總結和練習題答案
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點線面關係知識總結和練習題有答案
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