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湖北黃岡浠水縣2009屆高考數學二輪專題複習教案——空間點線面的位置關係
主幹知識整合：
在高考中,立體幾何往往有兩個小題和乙個大題,而小題中,一般會有一道專門考查空間點線面的位置關係的題目,大題則通常在進行鑑定會間角與距離的計算前要先進行位置關係的判斷.而在方法的選擇上,既可以用幾何法,也可以用向量法,估計在2023年的高考中,仍將出現這種特點.因此,我們要既能對空間點線面的位置關係進行推理判斷,也要熟練掌握向量方法.
平面的基本性質
兩直線平行與垂直的判定定理和性質定理。
直線與平面平行與垂直的判定定理和性質定理。
兩平面平行與垂直的判定定理和性質定理。
經典真題感悟：
（08上海卷13） 給定空間中的直線l及平面，條件「直線l與平面內無數條直線都垂直」是「直線l與平面垂直」的（ c ）條件
a．充要 b．充分非必要 c．必要非充分 d．既非充分又非必要
2.（07江西理7題）如圖，正方體ac1的稜長為1，
過點a作平面a1bd的垂線，垂足為點h．則以下命題中，錯誤的命題是（ d ）
a．點h是△a1bd的垂心 b．ah垂直平面cb1d1
c．ah的延長線經過點c1 d．直線ah和bb1所成角為45°
3.（08海南卷15）乙個六稜柱的底面是正六邊形，其側稜垂直底面。已知該六稜柱的頂點都在同乙個球面上，且該六稜柱的體積為，底面周長為3，那麼這個球的體積為 ______
熱點考點**：
考點一：空間想象能力與空間概念
例1 (1)如圖,a,b到的距離分別是,ab與所成的角分別是,ab在內的射影分別是和.若,則
( d)
ab.c.
d. (2) 空間直線是600角的異面直線,分別過作平面,使
平面也成600角,這樣的面平 ( a )
a. 有無窮對 b. 只有5對 c. 只有3對 d. 只有1對
【解析】(1)選d.∵∵
又∵,(2)選a
過直線任作一平面,記為,因為與異面,且與成600角,故過直線作平面,與成600角,然後交換的位置(繞直線旋轉),就會得到相應的,從而符合要求的平面有無數對.
考點二：空間線面平行、垂直等位置的判定與證明
例2 (1)在三稜柱abc－a/b/c/中,點e、f、h、k分別為ac/、cb/、a/b、b/c/的中點,g為三角形abc的重心,從k、h、g、b/中取一點作為p,使得稜柱恰有2條稜與平面pef平行,則p為
hc.(2)下列5個正方體圖形中, 是正方體的一條對角線,點m、n、p分別為其所在稜的中點,能得出垂直面mnp的圖形的序號是寫出所有符合要求的圖形序號).
【解析】(1)選c.
現按各選項順序逐圖畫出.
圖(a)中過kef的截面為平行四邊行pknm,顯然三側稜均與此戴面平行,圖(b)中,過hef的截面為三角形pqr,其中p、q、r為各側稜中點,顯然三稜柱底面各稜均與此截面平行.圖(c)中,過gef的截面為梯形mnqp,其中各項點m、n、q、p均為所在稜的三等分點,顯然該稜柱恰有兩稜ab、a/b/與這個截面平行.圖(d)中,過b/ef的截面三角形a/b/c/,此稜柱只有乙個稜ab與此截面平行.
考點三：空間點、線、面關係中**性問題
例3 如圖,設動點p在稜長為1的正方體
abcd－a1b1c1d1的對角線bd1上,記
為鈍角時,求的取值範圍.
【解析】由題設可知,以、、為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角座標系,則有a(1,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0),d(0,0,1).由所以
顯然不是平角,所以為鈍角等價於
,這等價於
因此,【點評】本題屬空間探索性問題,通過建立空間直角座標系轉化為代數問題,充分體現了空間向量的工具性.
考點四： 平面圖形的翻摺
例5 如圖所示,在矩形abcd中,ab=4,bc=3,沿對角線ac把矩形折成二面角d－ac－b,並且d在平面abc內的射影落在ab上.
(1)求證:ad⊥平面dbc;
(2)求二面角d－ac－b的大小.
【解析】(1)設d在ab上的射影為h,則dh⊥平面abc,
∵dh⊥bc,又bc⊥ab,
∴bc⊥平面adb.
於是ad⊥bc ,
又ad⊥dc,∴ad⊥平面dbc.
(2)在平面abc內作he⊥ac,垂足為e,鏈結de,則de⊥ac,故∠def為二面角d－ac－b的平面角.在在
在即二面角d－ac－b的平面角為.
規律總結
1. 畫幾何的截面形狀,就是要畫出這個截面與幾何體各表面的交線,這就要求先找到截面與各表面的兩個公共點,或者先找到乙個公共點,再根據條件過此點作某線的平行線.
2.在解決空間位置關係的問題的過程中,注意幾何法與向量法結合起來使用.若圖形易找(例如,平面的垂線易作等),則用幾何法較簡便,否則用向量法.
而用向量法,一般要求先求出直線的方向向量以及平面的法向量,然後考慮兩個相關的向量是否平行或垂直.
3.對於空間線面位置的探索性問題,有的是運用幾何直觀大膽猜測後推是驗證,有的是直接建系後進行計算,有時兩種辦法相結合,它因結果的不確定性,增強能力考查,而成為新高考的熱點
專題能力訓練：
一、選擇題
1．一條直線與乙個平面所成的角等於，另一直線與這個平面所成的角是. 則這兩條直線的位置關係 （ d ）
a．必定相交 b．平行 c．必定異面 d．不可能平行
2．下列說法正確的是 b 。
a．直線a平行於平面m，則a平行於m內的任意一條直線
b．直線a與平面m相交，則a不平行於m內的任意一條直線
c．直線a不垂直於平面m，則a不垂直於m內的任意一條直線
d．直線a不垂直於平面m，則過a的平面不垂直於m
3．[2023年普通高等學校統一考試（海南、寧夏卷）數學（文科）第12題]已知平面平面，，點，，直線，直線，直線，則下列四種位置關係中，不一定成立的是（d ）
a． b． c． d．
4.三稜錐的側面兩兩垂直，且所有側稜之和為3，則三稜錐的體積的最大值為（ b ）
（a） （b） （c） （d）
5.從正方體的稜和各個面上的對角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在直線都是異面直線,則k的最大值是 4
二．填空題：
6．乙個正方體的稜長為2，將八個直徑各為1的球放進去之後，正**空間能放下的最大的球的直徑為
7.（全國二16）平面內的乙個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的乙個四稜柱為平行六面體的兩個充要條件：
充要條充要條
（寫出你認為正確的兩個充要條件）（兩組相對側面分別平行；一組相對側面平行且全等；對角線交於一點；底面是平行四邊形．注：上面給出了四個充要條件．如果考生寫出其他正確答案，同樣給分．）
三．解答題：
8. 已知在四面體中，，，，∈平面．
（1）若為△的重心，試證明；
（2）試問（1）的逆命題是否成立？並證明你的結論．
8. 解：(1)連交於,則平分,且分所成的比為2∶1，從而
又，故．
(2)逆命題成立，證明如下：設分所成的比為，分所成的比為．則,
,於是,
= 因,故,
解得,於是為△的重心．
9. 08陝西卷19．
三稜錐被平行於底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，，平面，，，，，．
（ⅰ）證明：平面平面；
（ⅱ）求二面角的大小．
解法二：（ⅰ）如圖，建立空間直角座標系，
則，，．
點座標為．
，．，，，，又，
平面，又平面，平面平面．
（ⅱ）平面，取為平面的法向量，
設平面的法向量為，則．
，如圖，可取，則，
，即二面角為．
10. 解析】本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關係的判定．
（ⅰ）∵ e,f 分別是ab,bd 的中點，
∴ef 是△abd 的中位線，∴ef∥ad，
∵ef面acd ，ad 面acd ，∴直線ef∥面acd ．
（ⅱ）∵ ad⊥bd ，ef∥ad，∴ ef⊥bd.
∵cb=cd, f 是bd的中點，∴cf⊥bd.
又efcf=f，∴bd⊥面efc．∵bd面bcd，∴面efc⊥面bcd ．
（2005湖北）如圖在四稜錐中，底面為矩形，側稜，為的中點，在側面內，找一點使。
分析1：把四稜錐補成長方體
設是它的乙個中截面，不難看到當
延長交於則為所求。
解法1：如圖設分別是稜的
中點，鏈結，是
稜的中點，是矩形，，，，而，，四邊形是矩形，
平面，在麵內作延長交於，，在矩形中，，在中，，所以當點在的中位線上，且時，。
分析2：以點為座標原點，分別以直線為軸，y軸,z軸;正方向建立空間直角座標系，設，其中，由，轉化為，且，再求出的值，從而確定平面內點de 位置。解法2：
如圖在四稜錐中底面為矩形，，以為座標原點分別以直線為軸，y軸,z軸;正方向建立空間直角座標系，設，其中
則，，,
要使，只需
，所以在側面內，當點時，。
總結：用向量方法**線面垂直，就是利用這條直線與平面內的兩條相交直線垂直，即然後求出點的座標。
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點線面的性質及位置關係
一 基礎知識 1.幾個公理和推論 7.兩直線的位置關係 8.直線與平面的位置關係 直線l與平面 9.兩平面的位置關係 平面 與 二 例題 1 在空間中可以確定乙個平面的條件是 a.兩兩相交的三條直線 b.三條直線，其中一條和另兩條分別相交 c.三個點d.三條直線，兩兩相交，但不交於同一點 2 已知m...
空間點線面位置關係及平行判定及性質
典型例題 題型一 點線面的關係用符號表示 判斷異面直線 例1 給定下列四個命題 其中，為真命題的是 a.和 b.和 c.和 d.和 變式1 給出下列關於互不相同的直線和平面的三個命題 若為異面直線，則 若，則 若，則 其中真命題的個數為 a 3 b 2 c 1 d 0 題型二 以中位線為突破口的平行...
2019屆高三數學第二輪複習 空間位置關係與證明
第二十三講空間位置關係與證明 高考在考什麼 考題回放 1 2008上海卷13 給定空間中的直線l及平面，條件 直線l與平面內無數條直線都垂直 是 直線l與平面垂直 的 c 條件 a 充要 b 充分非必要 c 必要非充分 d 既非充分又非必要 2 2008安徽卷4 已知是兩條不同直線，是三個不同平面，...