第二十三講空間位置關係與證明
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【考題回放】
1、（2008上海卷13） 給定空間中的直線l及平面，條件「直線l與平面內無數條直線都垂直」是「直線l與平面垂直」的（ c ）條件
a．充要 b．充分非必要 c．必要非充分 d．既非充分又非必要
2、（2008安徽卷4）．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（d ）
ab．cd．3、（2008湖南卷5）設有直線m、n和平面、.下列四個命題中，正確的是( d )
a.若m∥,n∥,則m∥n
b.若m,n,m∥,n∥,則∥
c.若，m,則m
d.若，m，m,則m∥
4、（2008福建卷6)如圖，在長方體abcd-a1b1c1d1中，ab=bc=2,aa1=1,則bc1與平面bb1d1d所成角的正弦值為d
abcd.
5（2008全國一18）四稜錐中，底面為矩形，側面底面，，，．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）設與平面所成的角為，求二面角的大小．
解：（1）取中點，連線交於點，
，，又麵麵，面，．，
，，即，
面，．（2）在麵內過點作的垂線，垂足為．
，，面，，
則即為所求二面角的平面角．
，，，，則，
，即二面角的大小．
6、（2008安徽卷）如圖，在四稜錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點
（ⅰ）證明：直線；
（ⅱ）求異面直線ab與md所成角的大小；
（ⅲ）求點b到平面ocd的距離。
方法一（綜合法）
（1）取ob中點e，連線me，ne
又（2）為異面直線與所成的角（或其補角）
作連線，所以與所成角的大小為
（3）點a和點b到平面ocd的距離相等，連線op,過點a作
於點q，
又 ,線段aq的長就是點a到平面ocd的距離
，，所以點b到平面ocd的距離為
方法二(向量法)
作於點p,如圖,分別以ab,ap,ao所在直線為軸建立座標系
,(1)
設平面ocd的法向量為,則
即 取,解得
(2)設與所成的角為,
, 與所成角的大小為
(3)設點b到平面ocd的距離為,則為在向量上的投影的絕對值,
由 , 得.所以點b到平面ocd的距離為
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一． 線與線的位置關係:平行、相交、異面；
線與面的位置關係:平行、相交、線在麵內；
面與面的位置關係:平行、相交；
二．轉化思想：
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【範例1】（07天津）如圖，在四稜錐中，底面，，，是的中點．
（ⅰ）證明；
（ⅱ）證明平面；
（ⅲ）求二面角的大小．
（ⅰ）證明：在四稜錐中，
因底面，平面，故．
，平面．
而平面，．
（ⅱ）證明：由，，可得．
是的中點，．
由（ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面內的射影是，，．
又，綜上得平面．
（ⅲ）解法一：過點作，垂足為，鏈結．則（ⅱ）知，平面，在平面內的射影是，則．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．設，
可得．在中，，，
則．在中，．
解法二：由題設底面，平面，則平面平面，交線為．
過點作，垂足為，故平面．過點作，垂足為，鏈結，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，設，
可得．，．
於是，．
在中，．
所以二面角的大小是．
所以二面角的大小是．
變式：如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，稜．
（1）證明//平面；
（2）設，證明平面．
證明：（ⅰ）取cd中點m，鏈結om.
在矩形abcd中，，又，則，
鏈結em，於是四邊形efom為平行四邊形.
又平面cde， em平面cde， ∴ fo∥平面cde
（ⅱ）證明：鏈結fm，由（ⅰ）和已知條件，在等邊△cde中，
且.因此平行四邊形efom為菱形，從而eo⊥fm而fm∩cd=m，
∴cd⊥平面eom，從而cd⊥eo. 而，所以eo⊥平面cdf.
【點晴】本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎知識，注意線面平行和線面垂直判定定理的使用，考查空間想象能力和推理論證能力。
【範例2】（07安徽）如圖，在六面體中，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形是邊長為1的正方形，平面
，平面，．
（ⅰ）求證：與共面，與共面．
（ⅱ）求證：平面平面；
（ⅲ）求二面角的大小（用反三角函式值表示）．
證明：以為原點，以所在直線分別為軸，
軸，軸建立空間直角座標系如圖，
則有．（ⅰ）證明：．．
與平行，與平行，
於是與共面，與共面．
（ⅱ）證明：，，，．
與是平面內的兩條相交直線．
平面．又平面過．
平面平面．
（ⅲ）解：．
設為平面的法向量，
，．於是，取，則，．
設為平面的法向量，
，．於是，取，則，．
．二面角的大小為．
解法2（綜合法）：
（ⅰ）證明：平面，平面．
，，平面平面．
於是，．
設分別為的中點，鏈結，有．，
於是．由，得，
故，與共面．
過點作平面於點，
則，鏈結，
於是，，．
，．，．
所以點在上，故與共面．
（ⅱ）證明：平面，，
又（正方形的對角線互相垂直），
與是平面內的兩條相交直線，
平面．又平面過，平面平面．
（ⅲ）解：直線是直線在平面上的射影，，
根據三垂線定理，有．
過點在平面內作於，鏈結，
則平面，
於是，所以，是二面角的乙個平面角．
根據勾股定理，有．
，有，，，．
，，二面角的大小為．
變式（07江蘇）如圖，已知是稜長為的正方體，
點在上，點在上，且．
（1）求證：四點共面；（4分）
（2）若點在上，，點在上，
，垂足為，求證：平面；（4分）
（3）用表示截面和側面所成的銳二面角的大小，求．
證明：（1）建立如圖所示的座標系，則，，，
所以，故，，共面．
又它們有公共點，所以四點共面．
（2）如圖，設，則，
而，由題設得，
得．因為，，有，又，，所以，，從而，．
故平面．
（3）設向量截面，於是，．
而，，得，，解得，，所以．
又平面，所以和的夾角等於或（為銳角）．
於是．故．
【範例3】如圖，在長方體ac1中，ad=aa1=1，ab=2，點e在稜ab上移動.
（1）證明：d1e⊥a1d；
（2）當e為ab的中點時，求點e到面acd1的距離；
（3）ae等於何值時，二面角d1—ec—d的大小為.
解析：法1
（1）∵ae⊥面aa1dd1，a1d⊥ad1，∴a1d⊥d1e
（2）設點e到面acd1的距離為h，在△acd1中，ac=cd1=，ad1=，
故（3）過d作dh⊥ce於h，連d1h、de，則d1h⊥ce，
∴∠dhd1為二面角d1—ec—d的平面角.
設ae=x，則be=2－x
法2：以d為座標原點，直線da、dc、dd1分別為x、y、z軸，建立空間直角座標系，設ae=x，則a1(1，0，1)，d1(0，0，1)，e(1，x，0)，a(1，0，0), c(0，2，0).
（1）（2）因為e為ab的中點，則e（1，1，0），
從而，，
設平面acd1的法向量為，
則也即，得，
從而，所以點e到平面ad1c的距離為
（3）設平面d1ec的法向量，
∴由令b=1, ∴c=2, a=2－x，
∴依題意
∴（不合，捨去）， .
∴ae=時，二面角d1—ec—d的大小為.
變式：如圖，四稜錐p—abcd中，底面abcd 為矩形，ab=8，ad=4，側面pad為等邊三角形，並且與底面所成二面角為60°.
（ⅰ）求四稜錐p—abcd的體積；
（ⅱ）證明pa⊥bd.
解析：（ⅰ）如圖，取ad的中點e，
鏈結pe，則pe⊥ad.
作po⊥平面在abcd，垂足為o，鏈結oe.
根據三垂線定理的逆定理得oe⊥ad，
所以∠peo為側面pad與底面所成的二面角
的平面角，由已知條件可知∠peo=60°，pe=6，所以po=3，
四稜錐p—abcd的體積vp—abcd=
（ⅱ）法1 如圖，以o為原點建立空間直角座標系.通過計算可得p(0，0，3)，
a(2，－3，0)，b(2，5，0)，d(－2，－3，0)
所以因為所以pa⊥bd.
法2：鏈結ao，延長ao交bd於點f.通過計算
可得eo=3，ae=2，又知ad=4，ab=8，
得所以rt△aeo∽rt△bad.得∠eao=∠abd.
所以∠eao+∠adf=90° 所以 af⊥bd.
因為直線af為直線pa在平面abcd 內的身影，所以pa⊥bd.
【點晴】本小題主要考查稜錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、分析問題能力，解題的關鍵是二面角的使用。使用空間向量能降低對空間想象能力的要求，但座標系的位置不規則，注意點座標的表示。
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