第5講解析幾何問題的題型與方法（二）
七、強化訓練
1、已知p是以、為焦點的橢圓上一點，若，則橢圓的離心率為
（abcd）
2、已知△abc的頂點a（3，－1），ab邊上的中線所在直線的方程為6x+10y－59=0，∠b的平分線所在直線的方程為：x－4y+10=0，求邊bc所在直線的方程。
3、求直線l2：7x－y+4=0到l1：x+y－2=0的角平分線的方程。
4、已知三種食物p、q、r的維生素含量與成本如下表所示。
現在將xkg的食物p和ykg的食物q及zkg的食物r混合，製成100kg的混合物.如果這100kg的混合物中至少含維生素a44 000單位與維生素b48 000單位，那麼x，y，z為何值時，混合物的成本最小？
5、某人有樓房一幢，室內面積共180 m2，擬分隔成兩類房間作為旅遊客房.大房間每間面積為18m2，可住遊客5名，每名遊客每天住宿費為40元；小房間每間面積為15 m2，可住遊客3名，每名遊客每天住宿費為50元.裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元.
如果他只能籌款8000元用於裝修，且遊客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？
6、已知△abc三邊所在直線方程ab：x－6=0，bc：x－2y－8=0，ca：x+2y=0，求此三角形外接圓的方程。
7、已知橢圓x2+2y2=12，a是x軸正方向上的一定點，若過點a，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，求點a的座標。
8、已知橢圓（a＞b＞0）上兩點a、b，直線上有兩點c、d，且abcd是正方形。此正方形外接圓為x2+y2－2y－8=0，求橢圓方程和直線的方程。
9、求以直線為準線，原點為相應焦點的動橢圓短軸mn端點的軌跡方程。
10、若橢圓的對稱軸在座標軸上，兩焦點與兩短軸端點正好是正方形的四個頂點，又焦點到同側長軸端點的距離為，求橢圓的方程。
11、已知直線與橢圓相交於a、b兩點，且線段ab的中點在直線上。
（１）求此橢圓的離心率；
（2 ）若橢圓的右焦點關於直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程。
12、設a（x1，y1）為橢圓x2+2y2=2上任意一點，過點a作一條直線，斜率為，又設d為原點到直線的距離，r1、r2分別為點a到橢圓兩焦點的距離。求證：為定值。
13、 某工程要將直線公路l一側的土石，通過公路上的兩個道口a和b，沿著道路ap、bp運往公路另一側的p處，pa=100m，pb=150m，∠apb=60°，試說明怎樣運土石最省工？
14、已知橢圓（a＞b＞0），p為橢圓上除長軸端點外的任一點，f1、f2為橢圓的兩個焦點，（1）若，，求證：離心率；（2）若，求證：的面積為。
15、在rt△abc中，∠cba=90°，ab=2，ac=。do⊥ab於o點，oa=ob，do=2，曲線e過c點，動點p在e上運動，且保持| pa |+| pb |的值不變。
（1）建立適當的座標系，求曲線e的方程；
（2）過d點的直線l與曲線e相交於不同的兩點m、n且m在d、n之間，設，
試確定實數的取值範圍。
16、 （2023年北京春季高考） 已知點a（2，8），在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點f重合（如圖）。
（i）寫出該拋物線的方程和焦點f的座標；
（ii）求線段bc中點m的座標；
（iii）求bc所在直線的方程。
八、參***
1、解：設c為為橢圓半焦距，∵
又 ∴
解得：選（d）。
說明：垂直向量的引入為解決解析幾何問題開闢了新思路。求解此類問題的關鍵是利用向量垂直的充要條件：「」，促使問題轉化，然後利用數形結合解決問題。
2、解：設b（a， b），b在直線bt上，
∴a－4b+10=0 ①
又ab中點在直線cm上，
∴點m的座標滿足方程6x+10y－59=0
∴ ②
解①、②組成的方程組可得a=10，b=5
∴b（10， 5），又由角平分線的定義可知，
直線bc到bt的角等於直線bt到直線ba的角，
又 ∴
∴，∴bc所在直線的方程為即2x+9y－65=0。
3、解法一：設l2到l1角平分線l的斜率為k，
∵k1=－1，k2=7。
。∴，解之得k=－3或，由圖形可知k<0，
∴k=－3，又由解得l1與l2的交點，
由點斜式得即6x+2y－3=0。
解法二：設l2到l1的角為θ，則，所以角θ為銳角，而，由二倍角公式可知∴或為銳角，
∴，∴k=－3等同解法一。
解法三：設l：（x+y－2）+λ（7x－y+4）=0 即（1+7λ）x+（1－λ）y+（4λ－2）=0①。
∴，由解法一知，
∴，代入①化簡即得：6x+2y－3=0。
解法四：用點到直線的距離公式，設l上任一點p（x， y），則p到l1與l2的距離相等。
∴整理得：6x+2y－3=0與x－3y+7=0，又l是l2到l1的角的平分線，
k<0，∴x－3y+7=0不合題意所以所求直線l的方程為6x+2y－3=0。
4、分析：由x+y+z=100，得z=100－x－y，所以上述問題可以看作只含x，y兩個變數.設混合物的成本為k元，那麼k=6x+5y+4（100－x－y）=2x+y+400，於是問題就歸結為求k在已知條件下的線性規劃問題。
解：已知條件可歸結為下列不等式組：。即
在平面直角座標系中，畫出不等式組①所表示的平面區域，這個區域是直線x+y=100，y=20，2x－y=40圍成的乙個三角形區域efg（包括邊界），即可行域，如圖所示的陰影部分。
設混合物的成本為k元，那麼k=6x+5y+4（100－x－y）=2x+y+400。
作直線：2x+y=0，把直線向右上方平移至位置時，直線經過可行域上的點e，且與原點的距離最小，此時2x+y的值最小，從而k的值最小。
由得即點e的座標是（30，20）。
所以， =2×30+20+400=480（元），此時z=100－30－20=50。
答：取x=30，y=20，z=50時，混合物的成本最小，最小值是480元。
5、解：設隔出大房間x間，小房間y間時收益為z元，則x、y滿足。
，x，y∈n，
且 z=200x+150y。
所以，x，y∈n，
作出可行域及直線：200x+150y=0，即4x+3y=0。（如圖4）。
把直線向上平移至的位置時，直線經過可行域上的點b，且與原點距離最大.此時，z=200x+150y取最大值.但解6x+5y=60與5x+3y=40聯立的方程組得到b（，）。
由於點b的座標不是整數，而x，y∈n，所以可行域內的點b不是最優解。
為求出最優解，同樣必須進行定量分析。
因為4×+3×=≈37.1，但該方程的非負整數解（1，11）、（4，7）、（7，3）均不在可行域內，所以應取4x+3y=36.同樣可以驗證，在可行域內滿足上述方程的整點為（0，12）和（3，8）.
此時z取最大值1800元. 。
6、解：解方程組可得a（6，－3）、b（6，－1）、c（4，2）設方程x2+y2+dx+ey+f=0，則：
解之得：d=，e=4，f=30。
所以所求的△abc的外接圓方程為：。
7、分析：若直線y=kx+b與圓錐曲線f（x，y）=0相交於兩點p（x1，y1）、q（x2、y2），則弦pq的長度的計算公式為，而。
，因此只要把直線y=kx+b的方程代入圓錐曲線f（x，y）=0方程，消去y（或x），結合一元二次方程根與係數的關係即可求出弦長。
解：設a（x0，0）（x0＞0），則直線的方程為y=x－x0，設直線與橢圓相交於p（x1，y1），q（x2、y2），由，可得3x2－4x0x+2x02－12=0
，，則∴，即
∴x02=4，又x0＞0，∴x0=2，∴a（2，0）
8、解：圓方程x2+y2－2y－8=0即x2+（y－1）2=9的圓心o＇（0，1），半徑r=3。
設正方形的邊長為p，則，
∴，又o＇是正方形abcd的中心，
∴o＇到直線y=x+k的距離應等於正方形邊長p的一半即，由點到直線的距離公式可知k=－2或k=4。
（1）設由
得a（3，1）b（0，－2），又點a、b在橢圓上，
∴a2=12，b2=4，橢圓的方程為。
（2）設ab：y=x+4，同理可得兩交點的座標分別為（0，4），（－3，1）
代入橢圓方程得，此時b2＞a2（捨去）。
綜上所述，直線方程為y=x+4，橢圓方程為。
9、分析：已知了橢圓的焦點及相應準線，常常需要運用橢圓的第二定義：橢圓上的點到焦點的距離與到相應準線的距離之比等於離心率e，而該題中短軸端點也是橢圓上的動點，因此只要運用第二定義結合a、b、c的幾何意義即可。
解：設m（x，y），過m作於a，，，
∴，又過m作軸於o＇，因為點m為短軸端點，則o＇必為橢圓中心，
∴，，∴，
∴化簡得y2=2x，
∴短軸端點的軌跡方程為y2=2x（x≠0）。
10、解：若橢圓的焦點在x軸上，如圖，∵四邊形b1f1b2f2是正方形，且a1f1=，由橢圓的幾何意義可知，解之得：，此時橢圓的方程為，同理焦點也可以在y軸上，綜上所述，橢圓的方程為或。
11、解：（1）設a、b兩點的座標分別為得
， 根據韋達定理，得
∴線段ab的中點座標為（）
由已知得
故橢圓的離心率為。
（2）由（1）知從而橢圓的右焦點座標為設關於直線的對稱點為
解得由已知得
故所求的橢圓方程為
12、分析：根據橢圓的第二定義，即到定點的距離與到定直線的距離之比等於常數e（0＜e＜1）的點的軌跡是橢圓，橢圓上任一點p（x1，y1）到左焦點f1的距離|pf1|=a+ex1，到右焦點f2的距離|pf2|=a－ex1；同理橢圓上任一點p（x1，y1）到兩焦點的距離分別為a+ey1和a－ey1，這兩個結論我們稱之為焦半徑計算公式，它們在橢圓中有著廣泛的運用。
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