教材：全日制普通高階中學教科書（必修）／第二冊（下b）第九章第五節《空間向量及其運算》p32
[教學目標]
1、知識與技能：
在充分了解平面向量的概念、運算及空間向量的概念、向量的加、減以及數乘向量等運算基礎上,進一步模擬**並獲得空間向量的數量積的定義、性質並掌握空間向量數量積的應用.
2、過程與方法：體會數學拓寬、發展的一種方法，親身體驗數學發現和創造的歷程.
3、情感態度價值觀：領略數學嚴謹、系統、基礎、實用的魅力.
[教學重點、難點]
1、重點:應用空間向量的數量積解決立體幾何問題
2、難點:應用空間向量的數量積解決異面直線所成角的問題
[教學方法]
在「四動策略」的前提下,以「問題驅動」為切入點,創設一種多元互動的學習氛圍.
[教學過程]
一、回顧舊知、引入新課(回顧平面向量的數量積的相關知識:)
1.平面向量的數量積定義:
向量形式
座標形式若, 則
2.平面向量的夾角公式:若與是平面兩非零向量,它們的夾角為,則
3.平面向量的性質:
兩非零向量與垂直的充要條件是:
兩非零向量與平行的充要條件是:
二、模擬**、獲取新知
1.空間向量的數量積定義:向量形式
座標形式若, ,則
2.空間向量的夾角公式:若與是空間兩非零向量,它們的夾角為,則
3.空間向量的性質:兩非零向量與垂直的充要條件是:
兩非零向量與平行的充要條件是:
三、回味建構、應用拓展(課堂討論,共同**)
問題驅動:向量融數形於一體,具有代數形式和幾何形式的雙重身份,那麼它除了在平面幾何中的應用外,還可以幫助我們解決哪些立體幾何的問題呢?
應用之一: 處理角的問題(重點)
問題:在邊長為2的正方體中,ac交b0於e,g為cc1的中點,
求:1.異面直線a1e與bc1所成角;
2.異面直線a1e與bg所成角.(由學生完成)
解1:如圖,建立適當的空間直角座標系,得相關點的座標:
a1(2,0,2),e(1,1,0),b(2,2,0),c1(0,2,2)
則=,=.,.
設a1e與bc1所成角為,則
即a1e與bc1所成角為.
應用之二: 處理垂直問題
問題:已知條件不變,求證:a1e⊥平面ogb. (此題結論可在題1的基礎上得到.)
應用之三: 處理平行問題
問題:在正方體中abcd-a1b1c1d1中,q是ab的中點,p是bc的中點.
求證：pq//平面a1bc1
(通過證明與平行,從而證明線面平行)
練習(由學生舉例)
四、小結內容、練習實踐
1.從平面向量數量積的定義、性質推廣得到有關空間向量數量積的定義、性質(模擬思想);
2.向量數量積解決幾何問題有兩種方式；
3.向量數量積為解決立體幾何中平行、垂直及有關角度等問題提供了一種新的方法；
4.體現了幾何問題代數化,即代數方法解決幾何問題(數形結合思想).
課外練習:
1.若a(m+1, n-1, 3),b(2m , n, m-2n), c(m+3, n-3 ,9)三點共線,則m+n= .
2.直三稜柱中abc-a1b1c1,∠acb=90o,且bc=ac=cc1=2,求異面直線a1b與ac1所成角的大小。
空間向量的數量積
教學目標 1 掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法 2 掌握兩個向量的數量積的計算方法，並能利用兩個向量的數量積解決立體幾何中的一些簡單問題。教學重 難點 空間數量積的計算方法 幾何意義 立體幾何問題的轉化。教學過程 一 知識講解 1 空間向量的夾角及其表示 已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫...
《空間向量的數量積及平面的法向量》學案
一 空間向量的數量積 1.空間向量的夾角 是空間兩個非零向量，過空間任意一點o，作，則叫做向量與 向量的記作 規定 特別地，如果，那麼與 如果，那麼與 如果，那麼與記作 2.空間向量的數量積及其有關的概念 設空間中兩個非零向量為 1 向量的數量積 把數量叫作向量的數量積，記作，即也可用座標表示為 2...
向量的數量積教學設計
2.3.1向量數量積的物理背景與定義 教材說明 平面向量數量積具有代數與幾何的雙重性質，因此所涉及的內容較為廣泛，如方程 不等式等代數問題 夾角 距離 面積 平行 垂直等幾何問題。平面向量數量積是數學中知識與能力的載體，是數學上的乙個重要工具之一，值得一提的是在教材的後續兩章的學習中，對三角函式內容...