第二章平面向量
第三課時：平面向量的數量積及平面向量應用舉例
課時作業
一、選擇題
1．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，則a·(b·c)等於( )
a．(26，－78) b．(－28，－42)
c．－52 d．－78
解析： a·(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．
答案： a
2．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x軸上一點p使·有最小值，則p點的座標是( )
a．(－3,0) b．(2,0) c．(3,0) d．(4,0)
解析： 設p點座標為(x,0)，則＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.
當x＝3時，·有最小值1.
∴點p座標為(3,0)，答案： c
3．已知m＝(－5,3)，n＝(－1,2)，當(λm＋n)⊥(2n＋m)時，實數λ的值為( )
a. b．－ cd.
解析： 由已知得|m|＝，|n|＝，m·n＝11，
∵(λm＋n)⊥(2n＋m)，
∴(λm＋n)·(2n＋m)＝λm2＋(2λ＋1)m·n＋2n2＝0，
即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－.答案： c
4．設向量a與b的夾角為θ，定義a與b的「向量積」：a×b是乙個向量，它的模|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，若a＝(－，－1)，b＝(1，)，則|a×b|等於( )
ab．2 c．2 d．4
解析： ∵|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，
∴cos θ＝＝－.又θ∈[0，π]，∴sin θ＝.
∴|a×b|＝2×2×＝2.答案： b
5．(2011·山東臨沂高三一模)在△abc中，有如下命題，其中正確的是( )
①－＝ ②＋＋＝0 ③若(＋)·(－)＝0，則△abc為等腰三角形 ④若·＞0，則△abc為銳角三角形( )
ab．①④ cd．②③④
解析： 在△abc中，－＝，①錯誤；
若·＞0，則∠b是鈍角，△abc是鈍角三角形，④錯誤．答案： c
二、填空題
6．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，m(x，y)，n(y，x)，則向量的模為________．
解析： ∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，
∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，
故向量＝(－8,8)，||＝8.答案： 8
7．若平面上三點a、b、c滿足||＝3，||＝4，||＝5，則·＋·＋·的值等於________．
解析： 由＋＋＝0可得(＋＋)2＝0，
∴9＋16＋25＋2(·＋·＋·)＝0，
·＋·＋·＝－25.
答案： －25
8．關於平面向量a，b，c，有下列三個命題：
①若a·b＝a·c，則b＝c.
②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，則k＝－3.
③非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60°.
其中真命題的序號為________(寫出所有真命題的序號)．
解析： 命題①明顯錯誤．由兩向量平行的充要條件得1×6＋2k＝0，k＝－3，故命題②正確．
由|a|＝|b|＝|a－b|，再結合平行四邊形法則可得a與a＋b的夾角為30°，命題③錯誤．
答案： ②
三、解答題
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)設c＝4a＋b，求(b·c)a；
(2)若a＋λb與a垂直，求λ的值；
解析： (1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，
∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．
∴b·c＝2×6－2×6＝0，
∴(b·c)a＝0a＝0.
(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，
由於a＋λb與a垂直，
∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.∴λ的值為.
10．(2009·湖南卷)已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值.
解析： (1)因為a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，
於是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，
所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.
從而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，
於是sin＝－.
又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，
所以2θ＋＝或2θ＋＝.
因此θ＝或θ＝.
11．(2011·臨沂模擬)已知向量m＝，n＝.
若m·n＝1，求cos的值；
解析： ∵m·n＝1，即sincos＋cos2＝1，即sin＋cos＋＝1，
∴sin＝.∴cos＝cos＝－cos
＝－＝2·2－1＝－.
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