教案梅陽谷縣第三中學
2015-4-12
課題：§2.4.1 平面向量數量積的物理背景及含義
教學目標
(一)知識目標
1、了解平面向量數量積的物理背景，理解數量積的含義及其物理意義；
2、理解平面向量數量積的幾何意義，掌握數量積的性質，並能運用性質進行相關的運算和判斷；
3、體會模擬的數學思想和方法，進一步培養學生抽象概括的能力。
(二)能力目標
通過對平面向量數量積性質的**,培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力,使學生的思維能力得到訓練.繼續培養學生的**能力和創新的精神。
(三)情感目標
通過本節課的學習,激發學生學習數學的興趣和善於發現、勇於探索的精神,體會學習的快樂.體會各學科之間是密不可分的.培養學生思考問題認真嚴謹的學習態。
教學重點：平面向量的數量積的定義、幾何意義及其性質。
教學難點：平面向量數量積的概念。
教學方法：啟發**式,講練結合法。
教學準備：多**、彩色粉筆。
課型：新授課.
教學過程
(一)複習引入
教師引言：前面我們學習了向量的線性運算，向量的加法、減法和數乘運算。我們知道這些運算有個共同的特點，就是他們運算的結果仍然是乙個向量。
既然平面向量能進行加減運算，那自然會想到兩個向量能否進行乘法運算？如果能，結果應該是什麼呢？我們很清楚，向量概念的引入與物理學的研究密切相關，我們來看物理學中這樣的乙個例子：
物理學家很早就知道,如果乙個物體在力f作用下產生位移s，那麼f所做的功為:
ff ss
(圖1圖2 )
(圖1)中力所做的功w=，(圖2)中力所做的功，在物理中功是乙個標量，是由f和s這兩個向量來確定的，如果我們把功看成是由f和s這兩個向量的一種運算結果，就可以引出新課的內容「平面向量數量積的物理背景及其含義」.
(二)合作**
結合物理學中功大小的定義和前面我們說的把功看成是和兩個向量的運算結果，兩者是等價的.如果把和這兩個向量推廣到一般的向量，就引出數量積的定義．
1、數量積的定義：
已知兩個非零向量和，把數量叫做與數量積（或內積），記作（注意：兩個向量的運算符號是用「」表示的，且不能省略），用數學符號表示即,（.
規定：零向量與任意向量的數量積都為零，即
2、接下來，請同學們思考乙個問題：
根據定義我們知道數量積是乙個數量，那麼它什麼時候為正，什麼時候為負？
我們前面已經提到兩個向量的夾角在，根據余弦函式的知識我們可以知道:
當時，，；
當時，，.
當;3、投影的定義
是由的引出來的，而是所做的功，是在方向上的分力，那麼在數量積中叫做什麼呢？這是我們今天要學的第二個新概念「投影」 ：
cosθ（cosθ）叫做向量在方向上(在方向上）的投影.
4、根據投影的定義，引導學生說出數量積的結構，也就是數量積的幾何意義：
數量積在方向上的投影的乘積
5、功的數學本質是什麼？功的數學本質是力與位移的數量積。
6、**數量積的性質
我們討論了數量積的正負，那麼我們這裡就具體的討論一些特殊的夾角:;;
.我們這裡都是由兩個向量的夾角來討論數量積的,那如果我們已知兩個向量的數量積及模長,怎樣得出它們的夾角呢
根據定義．由此我們就可以得出的值.當時,．
總結.特別地，.
請判斷．
解：因為，
所以．這些就是數量積的性質。在課堂上以上性質以**形式出現，讓同學們積極思考，踴躍回答並總結其各自的應用。
（三）例題講解，鞏固知識
例1已知，的夾角=120度，求．
解：根據數量積的定義:
==5=-10.
練習：在△abc中bc=8,ca=7,求。 (-28)
（四） 課堂練習
①、若≠0，則對任一非零向量，有·≠0．
、若≠0，·＝·，則＝．
2、已知△abc中， =, =，當·<0或·＝0時，試判斷△abc的形狀。
（五）課堂小結
本節課你有什麼收穫？讓學生各抒己見從不同方面加以總結。
( 知識收穫，學習方法，數學思想等．)
（六） 布置作業：
1、課本p121習題2.4a組1、2、6。
2、拓展與提高：
已知與都是非零向量，且+3 與7 -5垂直， -4與 7-2垂直，求與的夾角。（本題供學有餘力的同學選做）
平面向量數量積的物理背景及其含義教學設計
一 教學內容分析 以物體受力做功為背景引入數量積的概念，使向量數量積運算與物理知識聯絡起來 向量數量積與向量的長度及夾角的關係 進一步 兩個向量的夾角對數量積符號的影響及有關的性質 幾何意義和運算律。本節內容安排在 普通高中課程標準實驗教科書 數學必修4 a版 第二章 第4節第1課時。它是平面向量的...
專題平面向量的數量積
知識梳理 1 向量數量積的定義 已知兩個非零向量 它們的夾角為 我們把數量叫做與的數量積，記作 規定0向量與任一向量的數量積為0.2 的幾何意義 1 投影 設 是向量與的夾角，則叫做在方向上的投影，叫做在方向上的投影 2 的幾何意義 等於的長度與在方向上的投影的乘積 3 向量數量積的性質 是兩個非零...
平面向量的數量積教案
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